Практическая часть №1. Решить в целых числах уравнение: x4 + 3*x3 — x — 3 = 0

Практическая часть

№1. Решить в целых числах уравнение: x4 + 3*x3 – x – 3 = 0.

Решение:

Свободный член уравнения имеет следующие делители: +1, +3.

Среди этих чисел и будем искать целые корни данного уравнения. Подстановкой убеждаемся, что корнями являются числа 1 и –3.

Ответ: x1 = 1, x2 = -3.

№2.Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению: x2 – y2 = 69.

Решение: Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде: (x – y)*(x + y) = 69.

Т. к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1*69 и 69=3*23. Учитывая, что x – y > 0, получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

  или 

Первая система имеет решение x = 35, y = 34, а вторая система имеет решение x = 13, y = 10.

Ответ: (35;34), (13;10).

№3. Решить в целых числах уравнение: x2 – 3*x*y + 2*y2 = 7.

Решение: Запишем данное уравнение в виде: x2 – x*y – 2*x*y + y2 = 7.

Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки, получим: (x – y)*(x – 2*y) = 7.

Произведение двух целых чисел может равняться 7 в следующих случаях:

7 = 1*7 = 7*1= (-1)*(-7) = (-7)*(-1). Таким образом, получим четыре системы:

  или  ,  или  , или  .

Решением первой системы является пара чисел х = -5, у = -6. Решая вторую систему, получим х = 13, у = 6. Для третьей системы решением являются числа х = 5, у = 6. Четвёртая система имеет решение х = -13, у = -6.

Ответ: (-5;-6), (13;6), (5;6), (-13;-6).

№4. Доказать, что уравнение: x5 + 3*x4*y – 5*x3*y2 – 15*x2*y3 + 4*x*y4 + 15y5 = 33 не имеет целых решений.

Решение: Разложим левую часть уравнения на множители и запишем данное уравнение в виде: (x – 2*y)*(x - y)*(x + y)*(x + 2*y)*(x + 3*y) = 33.

1 случай: Пусть у = 0, тогда исходное уравнение примет вид x5 = 33.

Тогда x = , но это число не является целым. Значит, при у = 0 данное уравнение не имеет целых решений.

2 случай: Пусть y ≠ 0, тогда все пять множителей в левой части уравнения различны. С другой стороны число 33 можно представить в виде произведения максиму четырёх различных множителей (33 = 1*3*11 или 33 = (-1)*3*(-11) и т. д.). Следовательно, при y ≠ 0 данное уравнение также не имеет целых решений.

№5. Решить в целых числах уравнение  x + y = x*y.

Решение 1: Запишем уравнение в виде  (x - 1)(y - 1) = 1.

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в том случае, когда оба они равны 1. Т. е. исходное уравнение равносильно совокупности:

с решениями (0,0) и (2,2).

Решение 2

х + у = х*у,

х – х*у = - у, 

х*(1-у) = - у,

х = .

Ответ: (2;2), (0;0).

№6. Дана однокомнатная квартира. Стоимость содержания жилья на 1 м2 составляет 14 р., стоимость теплоэнергии на 1 м2  равна 111 р., стоимость 1 м3  горячей воды на человека – 389 р, стоимость 1 м3  холодной воды на человека – 80 р,  стоимость захоронения твердых бытовых отходов на человека – 26 рублей, стоимость водоотведения на человека – 120 рублей. Требуется определить какую площадь имеет квартира и сколько человек в ней проживает, если известно, что в квартплате за месяц всего начислено 9586р.

Решение: Пусть х – площадь квартиры, у – количество жителей в квартире, тогда

14*х + 111*х + 389*у + 80*у + 26*у + 120*у = 9586,

125*х +  612*у = 9586,

х =

9586 – 612*у - должно делиться без остатка на 125, значит это число должно заканчиваться 5 или 0

Для того чтобы число 9586 – 612*у заканчивалось 5, надо, чтобы число 612*у заканчивалось 1, а это не возможно. Из этого следует, что число 9586 – 612*у может заканчиваться только 0,

чтобы так получилось  у = 3 или у =13 (у < 15).

у = 3,        

х = = 62, 

(62;3).

у =13,

х = = 13,04, 

х не должен быть десятичным, значит (13,04; 13) - решением не является.

Решение (62;3).

Ответ: площадь квартиры 62 м2 и в ней живут 3 человека.

№7. Можно ли отвесить 28г некоторого вещества на чашечных весах, имея только 4 гири весом в 3г и 7 гирь весом в 5г?

Решение: Составим и решим уравнение:

  3x + 5y = 28,

, 

y = 3*y1 - 1.

x = 9 - 2*(3*y1 - 1) + y1 = 11- 5*y1.

Итак,  x = 11 – 5*y1,

  y = 3*y1 – 1.

Из условий задачи вытекает, что y1 нельзя давать отрицательные значения. Далее должно быть y1 < 3, для того, чтобы x не был отрицательным. Значит, 0 ≤ y1 ≤ 2. Однако y1 = 0 и y1 = 1 противоречат условию задачи x ≤ 4. Таким образом, возможно только y1= 2. При этом x = 1, y = 5 – единственное решение.

Ответ: можно, если взять 1 гирю по 3г и 5 гирь по 5г.

№8. Имеется 110 листов бумаги. Требуется из них сшить тетради по 8 листов и по 10 листов в каждой. Сколько надо сшить тех и других?

Решение:  Пусть x – число 8-ми листовых тетрадей, y – число 10-ти листовых тетрадей.

но x > 0 , y > 0.

Значит t = 0 или t = - 1,

Ответ: 5 8-ми листовых тетрадей и 7 10-ти листовых тетрадей; 10 8-ми листовых тетрадей и 3 10-ти листовых тетрадей.

№9. Многие старинные способы отгадывания чисел и дат рождения основываются на решении диофантовых уравнений. Так, например, чтобы отгадать дату рождения (месяц и число) собеседника, достаточно узнать у него сумму, получаемую от сложения двух произведений: числа даты (x) на 12 и номера месяца (y) на 31.

Пусть сумма произведений, о которых идет речь, равна 330. Найти дату рождения.

Решение:  Решим неопределенное уравнение:

12*x + 31*y = 330,

y = 2*y1 + y2 = 2*(2*y2 + y3) + y2 = 5*y2 + 2*y3 = 5*(2*y3 - 6) + 2*y3 = 12*y3 – 30*x = 27 – 3*(12*y3 - 30) + 2*y2 + y3 = 27 – 36*y3 + 90 + 2*(2*y3 - 6) + y3 = 27 – 36*y3 + 90 + 5*y3 - 12 = 105 – 31*y3.

x = 12*y3 - 30,

y = 105 – 31*y3

Т. к.  0 < x  ≤ 31, 0 < y ≤ 12, то легко убедиться, что единственным решением является: y3 = 3.

x = 12, y = 6.

Ответ: 12 число 6-ого месяца, т. е. 12 июня.

№10. Вы должны уплатить за купленный в магазине галстук 19 руб. У вас одни лишь трехрублевки, у кассира – только пятирублевки. Можете ли вы при наличии таких денег расплатиться с кассиром и как именно?

Решение: кол-во трехрублевок обозначим за – х, а кол-во пятирублевок за - у, и получим уравнение:

3x – 5y = 19,

x и y – числа целые и положительные.

3х = 19 + 5х,

х = (19+5х)/3=6 + у + (1+2у)/3.

Пусть (1+2у)/3 = t, тогда

Х = 6 + у + t,

3t = 1+2у, 

2у = 3t - 1 => y = (3t-1)/2 = t + (t-1)/2.

Так как у и t – числа целые, то и (t-1)/2 должно быть некоторым целым числом  t1, следовательно,

у = t + t1,

t1 = (t - 1)/2,

2*t1 = t - 1 и t = 2*t1 +1,

Значение t = 2*t1 +1 подставляем в предыдущие равенства:

у = t + t1 = (2*t1 +1) + t1 = 3*t1 + 1,

х = 6 + у + t = 6 + (3*t1 + 1) + (2*t1 +1) = 8 + 5*t1.

И так, для х и у мы нашли выражения:

х = 8 + 5*t1,

у = 1 + 3*t1.

Числа х и у, мы знаем, - не только целые, но и положительные, т. е. больше чем 0. Следовательно,

8 + 5t1 > 0,

1 + 3t1 > 0,

Из этих неравенств находим:

5*t1>-8  и  t1>-8/5;

3*t1>-1  и  t1>-1/3;

Этим величина t1 ограничивается; она больше чем -1/3 (значит, подавно больше чем -8/5). Но так как t1 – число целое, то заключаем, что для него возможны лишь следующие значения:

t1 = 0, 1, 2, 3, 4 …

Соответствующие значения для х и у таковы:

х = 8 + 5*t1 = 8, 13, 18, 23, 23, …

у = 1 + 3*t1 = 1, 4, 7, 10, …

Теперь мы установили, как может быть произведена уплата: вы либо платите 8 трехрублевок, получая 1 пятирублевку сдачи:

8 * 3 – 5 = 19

Либо платите 13 трехрублевок, получая сдачи 4 пятирублевками:

13 * 3 – 4 * 5 = 19

Ответ: В принципе, вариантов решений тут, бесчисленно, но надо учитывать, что количество денежных средств и у продавца и покупателя ограничено, отсюда следует, что самый удобный вариант из всех предложенных, это дать продавцу 8 трехрублевок и получить сдачу, одну пятирублевку.

№11. Решить в натуральных числах х4 + 2*х7*у – х14 - у2  = 7.

Решение:

Перепишем данное уравнение в виде:

– х14 – х9  + х7 * у  + х9 + х4 – х2 *у +  х7 *у + х2 *у -  у2  = 7,

или 

  – х7 * (х7 + х2 – у) + х2 *(х7 + х2 – у) + у*(х7 + х2 – у) = 7,

или

(х7 + х2 – у)*(- х7  + х2 + у) = 7.

Поскольку делителями числа 7 являются лишь числа -1, 1, -7, 7, то искомые числа х и у надо искать среди решений следующих четырех систем:

  х7 + х2 – у = 1,

       

1.  - х7  + х2 + у = 7,

  х7 + х2 – у = -1,

       

2.  - х7  + х2 + у = -7,

  х7 + х2 – у = 7,        

3.  - х7  + х2 + у = 1,

  х7 + х2 – у = -7,

       

4.  - х7  + х2 + у = -1,

Первая система имеет единственное решение в натуральных числах х = 2, у = 131, третья система имеет также единственное решение в натуральных числах х = 2, у = 125. Вторая и четвертая системы не имеют решения в натуральных числах.

Ответ: Данное уравнение имеет два решения в натуральных числах: х = 2, у = 131; х = 2, у = 125.

№12. Решите систему уравнений в целых положительных числах:

  8*х + 5*у + z = 100,

  х + у + z = 20;

Решение:

Вычитая из первого уравнения второе, получим 7*х + 4*у = 80,

откуда у = 20 – 7*х / 4.

Поскольку х и у должны быть целыми положительными числами, то легко установить, что х может иметь только два значения: 4 и 8, а соответствующие значения у таковы: 13 и 6. Находим z, z равно 3 и 6, соответственно.

Итак, система имеет два решения:

х = 4, у = 13, z = 3; x = 8, y = 6, z = 6.

Ответ: 1. х = 4, у = 13, z = 3; 2. x = 8, y = 6, z = 6.

№13. Решить в целых положительных числах систему уравнений:

  х2 + 5*у2 +4*z2 + 4*х*у + 4*у*z = 125,         

  х2 + 3*у2 – 4*z2 + 4*х*у – 4*у*z = 75. 

Сложив оба уравнения, получим:

2*х2 + 8*у2 + 8*х*у = 200,

или 

х2 + 4*у2 + 4*х*у = 100,

или

(х + 2*у)2 = 100,

откуда

х + 2*у = 10.

Вычитая второе уравнение из первого, получим:

2*х2 + 8*у2  + 8*х*у  = 50,

или

(у + 2*z)2 = 25,

откуда

у + 2*z = 5.

Умножая обе части уравнения у + 2*z = 5 на 2 вычитая затем новое уравнение из х + 2*у = 10, получим:

х – 4*z = 0,

т. е. х = 4*z.        (3)

Таким образом, из у + 2*z = 5 и х = 4*z следует:

х = 4*z, у = 5 – 2*z.

Так как z > 0 и y > 0, то возможны лишь два случая:

а) z = 1, у = 3, х = 4; 

б) z = 2, у = 1, х = 8; 

Ответ: а) z = 1, у = 3, х = 4; б) z = 2, у = 1, х = 8.

№14. Докажите, что 2*х2 – 4*х – 5*у2 – 10*у = 10 не имеет решений в целых числах.

Доказательство:

Перепишем данное уравнение так:

2*х2 – 4*х – 10*у  – 10 = 5*у2. 

Левая часть этого уравнения есть четное число; следовательно, правая часть тоже должна быть четным числом, т. е. у = 2*z. Тогда уравнение примет вид:

2*х2 – 4*х – 20*z2  – 20*z = 10.

Если х - четное число. То левая часть есть число, делящееся на 4, а правая часть не делится на 4. Допустим, что х – нечетное. Пусть х = 2*t + 1.

Тогда имеем:

8*t2  – 8*t + 2 – 8*t – 4 – 20*z2  – 20*z = 10, 

или 

88t2 – 20*z* (z + 1) = 12.

Так как произведение z*(z+1) четно, то левая часть последнего уравнения делится на 8. Но правая часть не делится на 8. В силу изложенного, данное уравнение не имеет решений в целых числах. Что и требовалось доказать.