Задачи для проведения итогового зачета по стереометрии в 12 классе

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 8 см. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной 8см и углом 60°. Высота параллелепипеда равна меньшей диагонали ромба. Найти объем параллелепипеда.

3. Ребро правильного тетраэдра MABC равно:

а) постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, АС и АМ;

б) найти площадь сечения.

4. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 12 см и 6 см, двугранный угол  при основании равен 60°.

а) найти высоту пирамиды;

б) найти площадь боковой поверхности пирамиды.

5. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка M - центр грани ВВ1СС1. Найти угол между векторами АА1 и MD.

6. Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 16см2.Найти площадь поверхности сферы.

7. Двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды равен 60°. В пирамиду вписан шар, радиусом R:

а) найти высоту пирамиды;

б) найти апофему пирамиды.

8.Дан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно :

а) постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, A1и M, где M –середина ребра DC.

б) найти площадь сечения.

9.Основанием наклонной треугольной призмы ABCA1B1C1служитправильный треугольник,

со стороной равной . Боковое ребро АА1 равно и составляет со сторонами основания АВ и АС равные углы по 60°.

а) Доказать, что грань ВСС1В1– прямоугольник;

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

б) найти площадь боковой поверхности призмы.

10.Найти угол между образующей и высотой конуса, если разверткой его боковой поверхности является полукруг.

11. Радиусы оснований усеченного конуса равны 4 см и 2 см, образующая наклонена к основанию под углом 60°. Найти площадь боковой поверхности конуса.

12. Диаметр шара равен высоте конуса, осевое сечение которого – равносторонний треугольник со стороной .

а) найти радиус шара;

б) найти отношение  площади поверхности шара  к площади боковой поверхности конуса.

13.Сечение сферы двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через центр сферы, имеют длины 12и 6.

а) Найти площадь меньшего сечения сферы;

б) найти расстояние между секущими плоскостями.

14.Цилиндр получен вращением квадрата со стороной 4 см вокруг одной из его сторон. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

15.Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 10 см и составляет угол 30° с плоскостью боковой грани. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

16.Основанием пирамиды МАВСслужитправильный треугольник АВСсо стороной равной . Грань МАС также правильный треугольник, плоскость которого перпендикулярна к плоскости основания пирамиды.

а) Доказать, что высотой пирамиды служит высота треугольника МАС, проведенная из вершины М;

б) найти объем пирамиды.

17.Радиус основания конуса равен 6 см, а высота равна 4 см. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию конуса. Найти объем отсеченного конуса.

18. В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой . Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом.

а) Найти высоту пирамиды;

б) найти объем конуса.

19. Дан тетраэдр МАВС, Медианы треугольника АВС пересекаются в точкеО, точка К - середина отрезка МО. Выразите векторы МО и АК, через векторы

20. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 12 см, а плоский угол при вершине равен 60°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

21.В сферу радиусаRвписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с образующей угол

а) Найти радиус основания цилиндра;

б) найти объем цилиндра.

22.Длины векторов равны соответственно 6см и 4см, угол между ними 120°. Найти скалярное произведение.

23.Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6см, а двугранный угол при основании 30°.Найти объем пирамиды.

24. Высота конуса равна . Через вершину конуса под углом 45° к плоскости основания проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 90°.

а) Найти радиус основания конуса;

б) найти площадь сечения конуса этой плоскостью.

25. Основанием пирамиды МАВСслужитправильный треугольник АВСсо стороной равной . Боковое ребро МА перпендикулярно к плоскости основания,

а) Найти угол между плоскостями МАС и МАВ;

б) доказать, что угол между плоскостями МВС и АВС равен 30°.

26. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды MABCD равны .

а) Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания АС перпендикулярно боковому ребру;

б) найти угол между секущей плоскостью и плоскостью основания пирамиды.

27.Площадь основания цилиндра равна . Площадь его осевого сечения  равна 24 см2.Найти объем цилиндра.

28. Осевое сечение конуса -  правильный треугольник со стороной равной 6см. Найти объем конуса.

29. В усеченный конус, радиусы оснований которого 2rи r, вписана сфера.

а) Найти радиус сферы;

б) найти отношение площади поверхности сферы к площади боковой поверхности конуса.

30. Угол между диагоналями развертки боковой поверхности цилиндра равен 60°, диагональ равна 12 см. Найти площадь боково        й  поверхности цилиндра..

31.Образующая конуса равна и наклонена к основанию под углом .

а) Найти радиус вписанного шара;

б) найти объем этого шара.

32. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны 12 см и 16 см, а диагональ параллелепипеда составляет угол 45° с плоскостью основания.

33. В шар вписан конус, высота которого равна и равна радиусу основания.

а) Найти образующую конуса;

б) найти объем шара.

34. Радиус ОА шара с центромО равен 2см. Найти  площадь сечения шара плоскостью, проходящей через точкуА под углом 45° к радиусу ОА.

35.Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 12 см. а острый угол равен 45°, вращается около катета. Найти объем полученного тела вращения.

36.Основанием пирамиды MABCDявляется квадрат стороной равной . Боковое ребро MDперпендикулярно плоскости основания пирамиды и равно .

а) Доказать, что грань MAB – прямоугольный треугольник;

б) найти площадь боковой поверхности пирамиды.

37. Цистерна имеет форму цилиндра, к одному из оснований которого присоединенполушар. Радиус основания цилиндра 3м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны была равна 36 м3?

38.Около куба АВСDA1B1C1D1, ребро которого равно , описан цилиндр.

а) Найти площадь осевого сечения цилиндра;

б) найти расстояние между прямыми A1Dи BC1.

39. Дана правильная четырехугольная призма АВСDA1B1C1D1,сторона основания которой равна 2дм, высота 4 дм. Найти угол между векторами:

А) ВС и С1А1;

Б) ВС1 и DB1.

40.Основанием прямой призмы служит равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 см. Плоскость, проведенная через один из катетов нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания, составляет с плоскостью  основания призмы угол 45°. Найти объем призмы.