Нули функции. Изолированные особые точки

НУЛИ ФУНКЦИИ. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Нули функции. Пусть функция является аналитической в точке .

Определение 8. Точка называется нулем функция порядка (или кратности)  n,  если выполняются условия

Определение 9. Точка тогда и только тогда является нулем –го  порядка функции , аналитической в точке , когда в некоторой окрестности этой точки имеет место равенство

где  – аналитична в точке    и  .

Определение 10. Точка называется правильной (обыкновенной) точкой  функции , если  функция является аналитической в этой точке и в некоторой её окрестности.

Точки, не являющиеся правильными, называются особыми.

Например, для функции все точки будут правильными, а точки – особые.

Точки разрыва функции являются её особыми точками.

Определение 11. Точка называется изолированной особой точкой функции , если  – однозначная аналитическая функция в кольце  , а -особая точка.

Определение 12. Изолированная особая точка функции называется:

устранимой особой точкой, если существует конечный предел ;

полюсом, если ;

существенной особой, если не существует.

Для того чтобы точка была полюсом порядка n функции , необходимо и достаточно, чтобы функцию можно было представить в виде , где функция аналитическая в точке и .

В случае полюс называется простым.

Имеет место следующие теоремы на основе  рядов Лорана.

Для того чтобы точка была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение в окрестности точки не содержало главной части (т. е. не содержало членов с отрицательными степенями ). Для того чтобы точка была полюсом функции , необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения в окрестности содержала лишь конечное число членов:

Наибольший из показателей степеней у разностей , содержащихся в знаменателях членов главной части ряда Лорана, совпадает с порядком полюса.

Точка тогда и только тогда является существенно особой точкой для функции , когда главная часть её лорановского разложения в окрестности точки содержит бесконечно много членов:

При исследовании характера изолированной особой точки  для функции где функции и - аналитические в точке , можно воспользоваться следующими рассуждениями.

Если

то

при  особая точка является полюсом функции порядка , при особая точка является устранимой особой точкой.