правительство Российской Федерации
Санкт – Петербургский государственный университет
МАТЕМАТИКО-МЕХАНИЧЕСКИЙ факультет
Принята на заседании кафедры высшей алгебры и теории чисел Зав. кафедрой, профессор | УТВЕРЖДАЮ Декан факультета, профессор |
ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
"Кольца и модули"
Специальность – 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»
Санкт – Петербург
2012 г.
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ Раздел
Основная задача курса — ввести аспирантов в круг основных идей и методов теории колец и модулей над кольцами, ознакомить их как с классическими, так и современными результатами в этой области.
Целью курса является понимание аспирантами понимания взаимосвязей между основными достижениями теории колец и влиянием их на изучение категорий модулей, формирование навыков самостоятельного применения изученных методов.
Слушатели курса должны овладеть теоретическими основами современной теории колец и модулей и умением использовать их в других областях математики.
Построение курса подразумевает постоянное акцентирование внимания аспирантов на общекультурном, историческом и социальном контексте формирования и использования изучаемых математических понятий и методов.
2. ОБЪЕМ КУРСА
Продолжительность обучения | 1-2 года обучения |
Общая трудоемкость | 108 часов |
из них: лекций | 50 часов |
самостоятельная работа | 58 часов |
Изучение дисциплины, формы контроля: | |
1 год: | лекции – 20ч, самостоятельная работа – 16ч; |
2 год: | лекции – 30ч, самостоятельная работа – 42ч, зачет |
экзамен
3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КОЛЕЦ И МОДУЛЕЙ
Категория модулей над кольцом: основные определения, прямые произведения и суммы модулей. Условия конечности: нётеровы и артиновы модули и кольца, композиционный ряд модуля. Тензорные произведения модулей и алгебр. Изоморфизм сопряжённости. Тензорные произведения как алгебры. Плоские модули. Морита-эквивалентность категорий модулей: контекст Мориты. Радикал Джекобсона и первичный радикал кольца. Полупервичные кольца. Локальные и полулокальные кольца, различные характеризации локальности кольца.
РАЗДЕЛ 2. ГОМОМОРФИЗМЫ МОДУЛЕЙ, ПРОЕКТИВНЫЕ И ИНЪЕКТИВНЫЕ МОДУЛИ
Гомоморфизмы модулей. Теоремы о гомоморфизме. Функтор Hom. Лемма Фиттинга, теорема Крулля-Ремака-Шмидта. Образующие и кообразующие категории модулей. Проективные модули. Связь со свободными модулями. Проективные модули над локальными кольцами, теорема Капланского. Инъективные модули, инъективная оболочка. Критерий Бэра инъективности модуля. Кольца эндоморфизмов как инъективные модули. Разложения инъективных модулей над нетёровыми кольцами.
РАЗДЕЛ 3. ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА
Некоммутативные дедекиндовы области, дедекиндовы первичные кольца, Морита-эквивалентности между ними. Конечно порождённые модули над дедекиндовыми первичными кольцами: структура свободных от кручения модулей, разложение периодических модулей в прямую сумму циклических подмодулей.
РАЗДЕЛ 4. АРТИНОВЫ КОЛЬЦА И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Полупростые модули. Классически полупростые кольца и модули над ними. Артиновы простые кольца, теорема Веддербёрна-Артина. Теорема плотности. Нётеровость артиновых колец. Артиновы полуцепные кольца. Фробениусовы и квазифробениусовы кольца. Групповые алгебры и представления групп: теорема Машке, необходимое и достаточное условие полупростоты групповой алгебры. Характеры групп, соотношения ортогональности. Индуцированные представления и характеры. Неприводимые представления симметрических групп.
РАЗДЕЛ 5. ПОЛУСОВЕРШЕННЫЕ И СОВЕРШЕННЫЕ КОЛЬЦА
Полусовершенные кольца. Поднятие идемпотентов по модулю ниль-идеала.
Проективное накрытие модуля. Различные характеризации полусовершенных колец. Неразложимые проективные модули над полусовершенными кольцами.
Совершенные кольца. Теорема Басса.
РАЗДЕЛ 6. НЕТЕРОВЫ КОЛЬЦА, ИХ КОЛЬЦА ЧАСТНЫХ
Кольца частных для некоммутативных колец. Правые области Оре как области целостности с правым телом частных. Теорема Голди. Порядки в кольцах частных.
Наследственные нётеровы кольца: существование артинова кольца частных, разложение в конечную прямую сумму артинова наследственного кольца и наследственных нётеровых первичных колец. Структура полуцепных нётеровых справа колец и полуцепных справа нётеровых справа полупервичных колец.
Примерный перечень вопросов к зачету по всему курсу
Прямые произведения и суммы модулей: категорное определение, существование. Подмодули, фактормодули и факторкольца. Свойства нетеровых и артиновых модулей. Теорема Жордана-Гёльдера. Свойства колец, инвариантные относительно Морита-эквивалентности. Тензорные произведения модулей и алгебр, сбалансированные отображения. Изоморфизм сопряжённости. Функторные свойства тензорного произведения. Морита-эквивалентность категорий модулей. Плоские модули. Радикал Джекобсона и первичный радикал кольца: свойства их элементов Полупервичные кольца. Лемма Накаямы. Локальные кольца, различные их характеризации. Полулокальные кольца. Гомоморфизмы модулей, теоремы о гомоморфизме, кольца эндоморфизмов. Функтор Hom, его свойства. Лемма Фиттинга. Локальность кольца эндоморфизмов неразложимого модуля конечной длины. Разложения модулей с локальными кольцами эндоморфизмов. Теорема Крулля-Ремака-Шмидта. Образующие и кообразующие категории модулей. Проективные модули. Связь со свободными модулями. Обобщение понятия базиса для проективных модулей. Обратимые идеалы области целостности как проективные модули. Проективные модули над локальными кольцами, теорема Капланского. Инъективные модули. Существенные подмодули, инъективная оболочка модуля. Критерий Бэра инъективности модуля. Делимые абелевы группы как инъективные модули над кольцом целых чисел. Кольца эндоморфизмов как инъективные модули. Разложения инъективных модулей над нетёровыми кольцами. Теорема Фейса-Уолкера. Обобщения коммутативных дедекиндовых колец: некоммутативные дедекиндовы области. Дедекиндовы первичные кольца, Морита-эквивалентности между ними. Структура свободных от кручения модулей над дедекиндовыми первичными кольцами. Дедекиндовы первичные кольца: разложение периодических модулей над ними в прямую сумму циклических подмодулей, структура конечно порождённых модулей. Полупростые модули: разложение в прямую сумму неразложимых модулей. Классически полупростые кольца и модули над ними. Артиновы простые кольца, теорема Веддербёрна-Артина. Теорема плотности. Совпадение радикала Джекобсона и первичного радикала для артиновых колец. Нётеровость артиновых колец. Артиновы полуцепные кольца и модули над ними. Дуальность для артиновых колец. Фробениусовы и квазифробениусовы кольца. Групповые алгебры и представления групп. Теорема Машке, необходимое и достаточное условие полупростоты групповой алгебры. Неприводимые представления, одномерные представления. Характеры групп, соотношения ортогональности. Индуцированные представления и характеры. Неприводимые представления симметрических групп. Поднятие идемпотентов по модулю ниль-идеала. Поднятие прямых разложений. Проективное накрытие модуля, условия его существования. Различные характеризации полусовершенных колец. Неразложимые проективные модули над полусовершенными кольцами. Совершенные кольца. Теорема Басса. Кольца частных для некоммутативных колец: условия Оре, правые области Оре как области целостности с правым телом частных. Полупервичные кольца Голди, теорема Голди. Порядки в кольцах частных. Наследственные и полунаследственные кольца. Существование артинова кольца частных у наследственного нетерова кольца. Разложение наследственного нетерова кольца в конечную прямую сумму артинова наследственного кольца и наследственных нетеровых первичных колец. Структура полуцепных нётеровых справа колец. Структура полуцепных справа нётеровых справа полупервичных колец.
4. ЛИТЕРАТУРА
Основная
F. Anderson, K. Fuller. Rings and categories of modules. Springer-Verlag,1992. Ф. Каш. Модули и кольца. М.,«Мир»,1981. С. Ленг. Алгебра. М.,«Мир»,1968. К. Фейс. Алгебра: кольца, модули и категории. М.,«Мир»,1977.Дополнительная
1. T. Lam. A first course in noncommutative rings. Springer-Verlag,1991.
2. J. McConnell, J. Robson. Noncommutative noetherian rings. Graduate studies in mathematics, vol.30.
3. Р. Пирс. Ассоциативные алгебры. М., «Мир», 1986.
СОСТАВИТЕЛЬ:
, к. ф.-м. наук, доцент кафедры высшей алгебры и теории чисел
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
