Задача №1
Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стержням с помощью шарниров.
Требуется:
1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q.
2) найти допускаемую нагрузку Qдоп, приняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению [у]=160 МПа;
3) найти предельную грузоподъемность при ут=240 МПа;
4) определить вертикальное перемещение точки приложения силы Q.
Дано: А=15 см2; а=2,8 м; b=2,8 м; с=2,0 м.
Решение.
Данная система статически неопределима один раз, поскольку четыре неизвестных (N1; N2; Rk; Hk) не могут быть определены из трех независимых уравнений равновесия. Поэтому кроме статической стороны задачи необходимо рассмотреть геометрическую и физическую стороны задачи.
Рассмотрение статической стороны задачи дает следующие уравнения равновесия:
∑Мк=0; N1∙4,8+N2∙2,8∙sin450-Q∙2,8=0
Под действием силы Q жесткий брус повернется относительно неподвижной опоры по часовой стрелке. Вследствие малости, перемещения характерных точек жесткого бруса по дугам окружностей можно заменить перемещением по касательным к дугам окружностей.
Тогда из подобия треугольников: 
или 
Используя физическую сторону задачи (закон Гука), выразим деформации стержней Дl1 и Дl2 через усилия N1 и N2:
Решая совместно систему уравнений, находим:
Напряжения в поперечных сечениях стержней 1 и 2:
Допускаемую нагрузку находим из условия прочности по нормальным напряжениям :
Предельную грузоподъемность системы Qmk найдем, подставив в уравнение равновесия предельные значения усилий в стержнях:
∑Мк=0; уm∙A∙4,8+уm∙2∙A∙2,8∙sin450- Qmk ∙2,8=0; Qmk=1126 кН
Перемещение точки приложения силы Q будет равно:
Задача №2
К стальному валу приложены четыре сосредоточенных момента.
Требуется:
1) построить эпюру крутящих моментов;
2) определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его до ближайшей большей величины из стандартного ряда чисел;
3) найти наибольший относительный угол закручивания и проверить жесткость вала при [и]=0,05 рад/м.
Дано: а=1,8 м; b=1,8 м; с=2,0 м; М1=1,8 кН∙м; М2=1,8 кН∙м; М3=2,0 кН∙м; [ф]=70 МПа.
Решение.
Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала, определяем по внешним скручивающим моментам методом сечений:
- участок 1 (0≤z1≤1,8 м) М1кр=1,8 кН∙м;
- участок 2 (0≤z2≤2,0 м) М2кр=1,8+2=3,8 кН∙м;
- участок 3 (0≤z3≤1,8 м) М3кр=3,8-1,8=2 кН∙м;
- участок 4 (0≤z4≤1,2 м) М4кр=2-1,8=0,2 кН∙м;
Диаметр вала находим из условия прочности по касательным напряжениям:
Полярный момент сопротивления:
Тогда:
Принимаем d=70 мм.
Полярный момент инерции:
Для стали модуль сдвига G=80 ГПа.
Жесткость поперечного сечения вала при кручении:
Наибольший относительный угол закручивания:
В данном случае имеем: иmax<[и]. Таким образом условие жесткости выполняется.
Задача №4
Для балки, изображенной на схеме (а) требуется:
1) построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Мх, найти Mxmax;
2) подобрать прямоугольное (h:b=2), кольцевое (dвнутр:dвнеш=0,8) и двутавровое поперечное сечение при [у]=160 МПа;
3) выбрать наиболее рациональное сечение по расходу материала.
Для деревянной балки круглого поперечного сечения, изображенной на схеме (б) требуется:
1) построить эпюры Qy и Мх, найти Mxmax;
2) подобрать диаметр сечения при [у]=8 МПа;
3) построить эпюру прогибов при Е=1,2∙104 МПа
Дано: l1=1,8 м; l2=10 м; а1/а=8; а2/а=8; а3/а=2; М=8 кН∙м; F=8 кН; q=10 кН/м.
В данном случае l1=1,8 м=10∙а → а=0,18 м.
а3=2∙а=2∙0,18=0,36 м.
Приложенные к балки внешние нагрузки разделяют ее длину на три участка и вызывают в защемлении опорную реакцию R0 и опорный момент М0.
Определяем их значения исходя из условий равновесия:
∑Fy=0 ; - R0+F-q∙a3=0;
R0=F-q∙a3=8-10∙0.36=4,4 кН
∑М0=0; - М0+F·l1-q∙a3·(l1-1,5∙a3)=0;
M0= F·l1-q∙a3·(l1-1,5∙a3)=8·1,8-10·0,36·(1,8-1,5·0,36) =9,864 кН∙м
Определяем Qy и Мх на участках:
- участок 1 (0≤z1≤0.36 м)
Q1=-F=-8 кН
М1=F∙z1
М1(z1=0)=8·0=0
М1(z1=0,36)=8·0,36=2,88 кН∙м
- участок 2 (0≤z2≤0.36 м)
Q2=-F+q∙z2
Q2(z2=0)=-8+10∙0=-8 кН
Q2(z2=0,36)=-8+10∙0,36=-4,4 кН
М2=F∙(0,36+z2)-0.5∙q∙z22
М2(z2=0)= 8∙(0,36+0)-0.5∙10∙02=2,88 кН∙м
М2(z2=0,36)= 8∙(0,36+0,36)-0.5∙10∙0,362=5,112 кН∙м
М2(z2=0,18)= 8∙(0,36+0,18)-0.5∙10∙0,182=4.158 кН∙м
экстремум: М2(z2)/=F-q∙z2=0
z2=F/q=8/10=0.8 > 0.36
- участок 3 (0≤z3≤1.08 м)
Q3=-F+q∙z2
Q3(z3=0)=-8+10∙0.36=-4.4 кН
Q3(z3=1.08)=-8+10∙0.36=-4.4 кН
М3=F∙(0,36+0.36+z3)-q∙z2·(0.5·z2+z3)
М3(z3=0)=8∙(0,36+0.36+0)-10∙0.36·(0.5·0.36+0)=5,112 кН∙м
М3(z3=1.08)=8∙(0,36+0.36+1.08)-10∙0.36·(0.5·0.36+1.08)=9.864 кН∙м
Строим эпюры Qy и Мх.
По эпюре Мх устанавливаем опасное сечение и значение расчетного момента в нем (Мmax=9,864 кН∙м).
Записываем условие прочности по нормальным напряжениям и определяем требуемое численное значение осевого момента сопротивления Wx.
Рассмотрим прямоугольное сечение (h=2∙b). Осевой момент сопротивления:
Площадь прямоугольного сечения: A=b∙h=(45∙90)∙10-6=4050∙10-6 м2.
Рассмотрим кольцевое сечение (б=dвнутр:dвнеш=0,8):
Площадь кольцевого сечения:
Рассмотрим двутавровое сечение. По сортаменту ближайшее большее значение Wх будет у двутавра №14 с Wх=87,7 см3 и площадью поперечного сечения А=12 см2 = 1710∙10-6 м2.
Самым экономичным будет круглое сечение.
Решение (б).
В данном случае l2=6 м=10∙а → а=0,6 м.
а1=2∙а=2∙0,6=1.2 м.
а2=5∙а=5∙0,6=3 м.
а3=а=0,6 м.
Приложенные к балке нагрузки делят ее на четыре части и вызывают в опорах балки реакции RA и RВ. Определим эти реакции из уравнений равновесия:
∑МА=0; 0,5∙q∙a22+M-RB∙l2+F∙( l2+a3)=0;
RB=(0,5∙q∙a22+M+F∙(l2+a3))/l2=(0.5∙6∙33+20+5∙(6+0.6))/6=13.33 кН
∑МВ=0; - q∙a2∙(l2-0.5∙a2)+М+F∙a3+RА∙l2=0
RA=(q∙a2∙(l2-0.5∙a2)-М-F∙a3)/l2=(6∙3∙(6-0.5∙3)-20-5∙0.6)/6=9.67 кН
Проверка: ∑Fy=0; RA+RВ-q∙a2-F=9,67+13,33-6∙3-5=0
Реакции определены верно.
Определяем Qy и Мх на участках:
- участок 1 (0≤z1≤0.6 м)
Q1=F=5 кН
M1=-F∙z1
M1(z1=0)=0
M1(z1=0.6)=-5∙0.6=-3 кН∙м
- участок 2 (0≤z2≤1.2 м)
Q2=F-RB=5-13,33=-8,33 кН
M2=-F∙(0.6+z2)+RB∙z2
M2(z2=0)=-5∙0.6+13.33∙0=-3 кН∙м
M2(z2=1.2)= -5∙(0.6+1.2)+13.33∙1.2=7 кН∙м
- участок 3 (0≤z3≤3 м)
Q3=RA-q∙z3
Q3(z3=0)=9.67 кН
Q3(z3=3)=9.67-6∙3=-8.33 кН
M3=RA∙z3-0.5∙q∙z32
M3(z3=0)=0
M3(z3=3)=9.67∙3-0.5∙6∙32=2.01 кН∙м
Найдем максимальный момент на участке 3:
(М3)/=RA-q∙z3
(М3)/=0 → RA-q∙z3=0 → z3=RA/q=9.67/6=1.61 м
М3(z3=1,61)= 9.67∙1,61-0.5∙6∙1,612=7,79 кН∙м
- участок 4 (0≤z4≤1,8 м)
Q4=RA-q∙а2=9,67-6∙3=-8,33 кН
М4= RA∙(а2+z4)-q∙a2∙(0.5∙a2+z4)
М4(z4=0)=9.67∙(3+0)-6∙3∙(0.5∙3+0)=2.01 кН∙м
М4(z4=1.8)=9.67∙(3+1.8)-6∙3∙(0.5∙3+1.8)=-13 кН∙м
По полученным в характерных сечениях значениям Qy и Мх строим эпюры.
По эпюре Мх устанавливаем опасное сечение и значение расчетного момента в нем (Мmax=13 кН∙м).
Искомый диаметр балки находим из условия прочности по нормальным напряжениям.
Задача №8
Стальной стержень (Ст.3) длиной l=2,5 м сжимается силой F=200 кН.
Схема закрепления и форма сечения стержня:
Требуется:
1) Найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на простое сжатие [у]=160 МПа.
2) Найти значение критической силы и коэффициента запаса устойчивости.
Решение.
Расчет начинаем с вычисления всех необходимых геометрических характеристик поперечного сечения которые удобно выразить через площадь поперечного сечения.
A=2∙а∙а-(а-2∙0,2∙а)∙(2∙а-2∙0,2∙а)=2∙а2-0,6∙а∙1,6∙а=а2∙(2-0,96)=1,04∙а2
Радиус инерции сечения относительно оси наименьшей жесткости:
Гибкость стержня:
где м – коэффициент приведения длины стержня, зависящий от условий закрепления (в данном случае м=0,7).
В условии устойчивости: 
неизвестны величины А и ц, где ц – коэффициент продольного изгиба.
Расчет выполняем методом последовательных приближений, в первом приближении задавшись ц=0,5:
площадь:
гибкость стержня:
Используя линейную интерполяцию, находим:
Во втором приближении принимаем:
В третьем приближении принимаем:
Полученное значение ц близко к принятому. Проверим выполнение условия устойчивости:
Относительная погрешность между недонапряжениями составляет:
Это меньше одного процента, что допустимо. Принимая ц=0,564 получаем:
А=0,00222 м2; 
Для материала стойки (Ст.3, Е=200 ГПа, ут=200 МПа) значение предельной гибкости будет равно:
так как л>лпред, то критическую силу определяем по формуле Эйлера:
Стойка имеет коэффициент запаса устойчивости:
n=Fкр/F=403.4/200=2
