Лекция по теме «Равенство векторов»

Лекция по теме «Равенство векторов»

Введем определение равных векторов. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.	Текст Равенство векторов Определение: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Для примера рассмотрим прямоугольный параллелепипед. Векторы АВ и ЕС, отмеченные на параллелепипеде, равны, так как они сонаправлены и их длины равны.	Рисунок параллелепипеда с выделенными векторами АВ и ЕС Текст
А на этом рисунке векторы АВ и СМ неравны, так как они сонаправлены, но их длины неравны.	Рисунок параллелепипеда с выделенными векторами Текст
На этом параллелепипеде векторы АН и ОК так же неравны, так как нарушено условие сонаправленности.	Рисунок параллелепипеда с выделенными векторами Текст
Если точка М – начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки М.	Рисунок вектора с началом в точке М
Докажем, что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. Вспомним определения: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. И Если векторы коллинеарны и при этом их лучи сонаправлены, то эти векторы называются сонаправленными. Пусть нам дан  вектор а  и точка М. Проведем через вектор а и точку М плоскость. В этой плоскости построим вектор МК, равны вектору а.  Очевидно, что вектор МК – искомый вектор. Из построения следует, что этот вектор единственный с началом в точке М и равный вектору а.	Текст ДаноМ. Доказать: , единственный.  Рисунок Плоскости и на них два равных вектора
Решим задачу № 000. На рисунке изображен тетраэдр АВСD, ребра которого все равны. Точки  М, N, P и Q – середины сторон   AB, AD, DC, BC. Необходимо выписать все пары равных векторов, изображенных на рисунке, и определить вид четырехугольника МNPQ.	Текст Задача № 000 Дано: точки  М, N, P, Q – середины сторон  AB, AD, DC, BC;  AB=AD= DC=BC=DD=AC; Задание: а) выписать пары равных векторов; б) определить вид четырехугольника MNHQ. Рисунок тетраэдра с серединами сторон из условия задачи
Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны. Из условия задачи знаем, что точка Р середина DC, значит, отрезки DP и PC равны. Векторы DP и PC сонаправлены, а, значит, эти векторы равны. NP-средняя линия треугольника ADC, значит, NP равно половинеAC и  параллельно  AC; MQ-средняя линия тр. ABC, MQ равно половине AC и  параллельно AC; Значит, NP равно MQ, NP параллельно MQ. Из рисунка видим, что они сонаправленны. Векторы PN и QM равны. PQ-средняя линия треугольника DВC; PQ равно половине DB и параллельно DB; NM-средняя линия треугольника ADB, MN равно половине DB и параллельно DB. Делаем вывод, что вектор QP равен вектору MN.	Рисунок прежний Ткст: Решение: DP = PC, =. NP-средняя линия ADC, значит, NP = AC, NP || AC ; ABC, значит, MQ = AC, MQ || AC; Значит, NP = MQ, NP || MQ, =. PQ-средняя линия DВC; PQ =DB, PQ ||DB; NM-средняя линия ADB, MN =DB, MN || DB. Делаем вывод, что =.
Пары равных векторов: MN и QP, PN и QM, DP и PC.	Рисунок прежний
Определим вид четырехугольника МNPQ. По условию все ребра тетраэдра равны, значит, он правильный и  скрещивающиеся ребра в нем перпендикулярны. Имеем: NP параллельно  АС и параллельно QM. MN параллельно  DB и параллельно QP. Отрезки MN, QP, PN и QM равны. Учитывая перпендикулярность DB и АС, можно сделать вывод, что MNPQ - квадрат. Задача решена.	Рисунок прежний б) NP||АС, QM||АС. MN || DB, QP|| DB. MN=QP=PN=QM. и DB и АС, MNPQ - квадрат.