Системы счисления, используемые при работе компьютера

Системы счисления, используемые при работе компьютера

Система счисления (СС) – это способ представления чисел с помощью цифр и соответствующие ему действия над числами.

Позиционная СС	Непозиционная СС
Десятичная СС 125=100+2+5 512=500+10+2	Римская СС XIV=10+(5-1) XVI=10+(5+1)
Значение цифры зависит от её позиции в числе	Значение цифры не зависит от её позиции в числе

Алфавит СС – это упорядоченное множество цифр СС.

Основание СС – количество цифр в алфавите (мощность алфавита).

Название	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
Основание	2	8	16
Алфавит	0, 1	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления

10→2 Делить на 2	10→8 Делить на 8	10→16 Делить на 16
Выполнять последовательное деление нацело десятичного числа на основание новой системы счисления до тех пор, пока частное не станет равным какому-либо числу из новой системы счисления. Записать остатка от деления в обратном порядке.

Примеры: Перевести десятичное число 35610  в двоичную систему счисления. 35610= X2 356  2 2  178  2 15  16  89  2 14  18  8  44  2   16  18  9  4  22  2   16  0  8  4  2  11  2   0  1  4  2  10  5  2   0  2  1  4  2  2   0  1  2  1   0 Ответ: 35610=1011001002

Перевести десятичное число 32410 в восьмеричную систему счисления. 32410= X8 324  8 320  40  8   4  40  5    0  Ответ: 32410=5048 Перевести десятичное число 18210 в шестнадцатеричную систему счисления. 18210= X16 182  16 16  11 = B   22   16   6 Ответ: 18210=B616

Перевод целых чисел в десятичную систему счисления

2→10	8→10	16→10
Пронумеровать разряды числа справа налево начиная с нуля.  n – номер разряда Записать число в развёрнутой форме складывая произведение каждой цифры исходного числа на основание системы счисления  в степени, соответствующей номеру разряда. Вычислить значение полученного выражения.

Примеры:

Перевести десятичное число 11012  в десятичную систему счисления.

11012= X10

  3 2 1 0 

  11012 = 1·23  + 1·22  + 0·21 + 1·20 = 8 + 4 + 1 = 1310

Перевести десятичное число 528 в десятичную систему счисления.

528= X10

  1  0 

  528 = 5·81 + 2·80 = 40 + 2 = 42 10

Перевести десятичное число 1A916  в десятичную систему счисления.

1A916= X10

  2  1  0 

  1A916 = 1·162  + 10·161 + 9·160 = 256 + 160 + 9 = 42510

Правила двоичной арифметики

Сложение	Вычитание	Умножение
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10   перенос	0 – 0 = 0 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 10 – 1 = 1   «заём»	0 ∙ 0 = 0 0 ∙ 1 = 0 1 ∙ 0 = 0 1 ∙ 1 = 1
Если при сложении чисел сумма цифр окажется больше 1, то возникает перенос в старший разряд	Если уменьшаемая цифра меньше вычитаемой, то сделать «заём» единицы в старшем разряде	Последовательное умножение множимого на очередную цифру множителя с последующим сложением промежуточных результатов умножения

1101   111

1101

1101   1101

1011011

Примеры:  3)

110111   10011 1001010 1)

11011   1101   1110 2)

Перевод целых чисел между системами счисления с основанием 2, 8, 16

2→8	8→2
Сгруппировать  три разряда двоичного числа. Записать восьмеричное число в каждой группе используя данные таблицы	Каждую цифру восьмеричного числа представить в виде трёх разрядов двоичного числа (триады).
X8	0	1	2	3	4	5	6	7
X2 триады	000	001	010	011	100	101	110	111
2→16	16→2
Сгруппировать  четыре разряда двоичного числа. Записать шестнадцатеричное число в каждой группе используя данные таблицы	Каждую цифру шестнадцатеричного числа представить в виде четырёх разрядов двоичного числа (тетрады).
X16	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
X2 тетрады	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Примеры:

Переведите 2368= X2 Ответ:  2368= 010 011 1102	3)Переведите 5A616= X2 5  A  6 Ответ:  5A616= 0101 1010 01102
Переведите 111010100 2= X8 Ответ:  111 010 1002=7248	4)Переведите 1001 11102= X16   9  E Ответ: 1001 11102= 9E16