Контрольные работы

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

К ‑ 1

Точки А, С, М и Р лежат в плоскости α, а точка В α (рис. 66). Постройте точку пересечения прямой МР с плоскостью АВС. Поясните.

Рис. 66

Треугольники АВС и АDС лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Е лежит на стороне АB а точка F ­— на стороне ВС, причем EF параллельна плоскости АDС, точка Р — середина AD, а точка К — середина DС. Докажите, что ЕF РК. Каково взаимное расположение прямых РК и АВ? Чему равен угол между этими прямыми, если AВС = 400 и BCA = 800?

3. Плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая а лежит в плоскости α. Каково возможное взаимное расположение прямой а и плоскости β? Сделайте рисунок и поясните.

Используя рисунок 67, постройте линию пересечения плоскости ЕFМ с плоскостью α. Поясните.

Рис.67

K – 2

Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АD. Прямая m, параллельная ВС, пересекает плоскости АВЕ и DCF соответственно в точках Н и Р. Докажите, что HPFE — параллелограмм. Плоскости α и β параллельны, а а1 (рис. 74). Прямая а пересекает плоскости α и β соответственно в точках А и В, а прямая а1 пересекает плоскость α в точке A1. Постройте точку пересечения а1 с плоскостью β. Поясните.

Рис. 74

3.  В тетраэдре DABC DВА 900, DВ = 6, АВ = ВС = 8, АС = 12. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину DB и параллельной плоскости ADC. Найдите площадь сечения.

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е и F параллельно прямой а (рис. 75).

K – 3

В треугольнике АВС АС = СВ = 10 см, A = 300, ВК — перпендикуляр к плоскости треугольника, равный 5 см. Найдите расстояние от точки К до АС. Точка М равноудалена от всех вершин равнобедренного прямоугольного треугольника АСВ (C = 900), АС = ВС = 4 см. Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 2 см. Докажите, что плоскость АМВ перпендикулярна плоскости АВС. Какой угол плоскость ВМС составляет с плоскостью АВС?

З) Найдите угол между МС и плоскостью АВС.

3*. Найдите расстояние от точки Е — середины стороны АС до плоскости ВМС.

K – 4

В основании прямого параллелепипеда ABCDAlBlClD1 лежит параллелограмм АВСD, у которого ВD АВ, АВ = З см, ВD = 4 см. Плоскость ABlCl составляет с плоскостью основания угол 450 . Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной, равной 12. Грани МВА и МВС перпендикулярны плоскости основания. Высота пирамиды равна 5. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

З.  В указанной выше пирамиде найдите расстояние между прямыми ВС и МD.

K – 5

ABCDAlBlClD1 — параллелепипед. Изобразите на рисунке векторы, равные:

2) – .

В тетраэдре DABC М — точка пересечения медиан грани ВDC, а точка Е— середина ребра AС. Разложите вектор по векторам , и .

3.  Даны три неколлинеарных вектора , и . Найдите значения р и q, при которых векторы = р + q  + 8 и = + q  + p коллинеарны.

4*. В тетраэдре DABC точки М и Н — середины ребер AD и ВС соответственно. Докажите, используя векторы, что прямые АВ, НМ и DС параллельны одной плоскости.

K – 6

В треугольнике АВС AB=        14, ВС= 13, АС = 15 (рис.82). Найдите:

высоту, проведенную к стороне АС; косинус угла А; синус угла В;   тангенс угла С; радиус описанной окружности; радиус вписанной окружности; медиану, проведенную к стороне ВС; биссектрису, проведенную из вершины С.

в

с

Рис. 82