Доклад |
Свойства чисел при решении 19 задачи ЕГЭ |
Методика преподавания математики |
Докладчик: Руководитель проекта: |
Математика – это основа для построения и проектирования моделей технических устройств, экономических процессов и других систем. Большое внимание математики уделяли развитию теории непрерывных функций и это было обоснованно. Вспомним: аналоговые вычислительные устройства, непрерывная развертка на экране телевизора, аналоговые бортовые системы автопилота и многое другое. В последнее десятилетие произошел переход на цифровые устройства: цифровые дисплеи, цифровые бортовые компьютеры и так далее.
Поэтому целесообразно сделать акцент на развитии дискретной математики и теории чисел. Это находит отражение в ведении 19 задачи ЕГЭ, которая по сути является задачей на теорию чисел.
Актуальность:
1) Задание 19 одно из двух отмеченных как высокий уровень сложности;
2) Максимальное количество баллов за его выполнение – 4 (из 32);
3) На его решение отводится 40 минут.
Цели:
1) Предоставить информацию по решению 19 задачи ЕГЭ математика профиль.
2) Оптимизировать процесс решения этой задачи.
3) Сократить время на решение этой задачи до минимума.
План Решения:
Представить решение 3 задач Пояснить решение задач Решить одну задачу в реальном времени Раздать материал с условиями и решениями 4 задач (4 решаемые в докладе и одна для проверки усвоения материала)Вначале я напомню ряд теорем и математических обозначений которые я использовала в своей работе.
1, если x>0
Функция знака: sign(x)= 0, если x=0
-1, если x<0
Целая часть [x] числа x ϶ R называется наибольшее целое значение, не превосходящее число x.
Дробная часть числа x ϶ R называется число {x}=x-[x]
Утверждение: Целая часть – неубывающая функция, дробная часть – периодическая функция с периодом равным 1.
Определение: Числа a, b, c ϶ € Ƶ, c≠0. Говорят, что число a сравнимо с числом b по модулю c a=b(mod c ), если (a-b)⁞ c, иначе а не сравнимо с числом b по модулю c a≡ b (mod c)
Числа a, b, c, d, m, k € Ƶ, m≠0, k≠0.
Утверждения:
Если a=b(mod m ) и b=c(mod m ), то a=с(mod m ). Если a=b(mod m ) и с=d(mod m ), то a+c=b+d(mod m ); ac=bd(mod m ). Если a=b(mod m ) => an=bn (mod m ) Если a=b(mod m ) => ak=bk(mod mk ) Если a=b(mod m ) и a⁞ k, b⁞ k, m⁞ k, то a/k=b/k(mod m/k )Утверждения: 
a, b€ Ƶ, n€N
Задача №1.
Условие:
Доказать, что если знаменатель правильной дроби не превосходит 100, то в десятичной записи этой дроби не могут встретиться три цифры 1, 6, 7, идущие подряд в указанном порядке.
Решение 1ой Задачи:
Предположим, что существует дробь 
, где
m, n ϶ Z и m<n≤100, причем десятичная запись этой дроби имеет вид 
=0,а1а2…аk167аk+4…,
Где а1, а2, аk, аk+4, -- некоторые цифры. Тогда для числа 
имеем p-[p]= 0,167аk+4…,
Следовательно 
Обозначим q=
n ϶ Z,
Тогда имеем 1,002≤6q/n<1,008
Следовательно, справедливы соотношения
0<0,002≤6q/n – 1 =(6q-n)/n<0,008<1/100,
Из этого вытекает, что 0<6q-n<n/100<0,008≤1
Т. е число 6q-n не может быть целым.
Чтд.
Задача №2.
Условие:
Доказать, что любое простое число вида 
(n ϶ N) не представимо в виде разности 5х степеней двух натуральных чисел.
Решение 2ой Задачи:
Пойдем от обратного
Удовлетворяющие равенству
,
Причем число
,
Является простым.
Тогда 
и
– 
Поэтому число
Делится на 5. Полученное противоречие доказывает справедливость требуемого утверждения.
Задача №3.
Условие:
Существует ли значение n ϶ N, при котором числа 
и 
одновременно являются кубами целых чисел.
Решение 3ей Задачи:
Предположим, что при некотором значении n ϶ N, число
Является кубом целого числа. Заметим, что двойка входит в это произведение с показателем 
(ибо второй сомножитель 
не делится на 2), поэтому 
=3k , т. е. 
=3k+1 , где k ϶ Z.
Но тогда число
Не может быть кубом целого числа, так как куб любого целого числа при делении на 7 может давать остаток 0,1 или 6 (действительно,
Таким образом, ни при каком значении n ϶ N числа 
и 
не могут одновременно быть кубами целых чисел.
Условия Задачи №4.
Найти все значения, обладающие следующими свойствами: пятая ступень суммы цифр десятичной записи числа n равна 
.
Выводы:
Обоснована целесообразность введения в учебный процесс школы задач на теорию чисел. Показано, что при решении задач дискретной математики можно применять методы непрерывной математики, например метод «от противного».Заключение:
Я думаю, что перспективы дальнейшего развития этой работы связаны с разработкой теории преобразования любой задачи на числа к задаче в двоичной системе. То есть перевод всех исходных данных в двоичную систему исчисления с последующим решением. Аналогично, как можно любой логарифм с помощью формулы перехода к новому основанию, преобразовать в натуральный или десятичный логарифм.
