9 класс, многочлены и коэффициенты

9 класс, многочлены и коэффициенты

Определения. Многочленом называется выражение вида P(x) = anxn +…+ a1x + a0, где n – целое неотрицательное число, a0, …, an – действительные числа, an ≠ 0. Число n называется степенью многочлена P и обозначается deg P. Числа аn, …, a0 называются коэффициентами многочлена P. Число аn называется старшим коэффициентом, а число a0 – свободным членом. Если Р(b) = 0, то число b называется корнем многочлена Р.

1. deg P(x) = 5, deg Q(x) = 7. Что можно сказать про степень многочленов P(х)+Q(x); P(х)ЧQ(x); P(Q(x))?

2. Многочлены P(x) и Q(x) имеют свободные члены 5 и 7. Что можно сказать о свободных членах многочленов P(x)+Q(x); P(x)ЧQ(x); P(Q(x))?

3. Старшие коэффициенты многочленов PР(х) и Q(x) равны 5 и 7. Что можно сказать о старших коэффициентах многочленов P(x)+Q(x); P(х)ЧQ(x); PР(Q(x))?

4. Выразите число P(0) через коэффициенты многочленаP(х). Напишите аналогичное выражение для суммы всех коэффициентов многочлена P(x).

5. Сумма коэффициентов многочлена P(x) равна 5, а сумма коэффициентов многочлена Q(x) равна 7. Что можно сказать о сумме коэффициентов многочленов P(x)+Q(x); P(x)ЧQ(x) ; Р(Q(x))?

6.  У многочлена Р(х) сумма коэффициентов при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях. Многочлен Q(x) обладает этим же свойством. Докажите, что этим же свойством обладают и многочлены Р(х)+Q(x); Р(х)ЧQ(x). Верно ли это, если о коэффициентах многочлена Q(x) ничего не известно?

7. Для каждого С>0 найдется такое M, что при выполнено

8. Теорема 1. У многочлена нечетной степени есть действительный корень.

9. Теорема 2. Если anxn +…+ a1x + a0 = 0, то , где .

10. Коэффициенты квадратного уравнения x2+px+q=0 изменили не более чем на 0,01. Мог ли больший корень уравнения измениться больше чем на 1000?

11. Если старший коэффициент многочлена Р(х) положителен, то при всех значениях x, больших некоторого числа, Р(х)>0.

12. Можно ли многочлен x4+1 разложить на множители?

13. Пусть P - многочлен. Чему равен свободный член многочлена P(x+a)?

14. P(x) – многочлен. Уравнение P(x) = x не имеет корней. Докажите, что уравнение P(P(x))=x тоже не имеет корней.

15. Найдите все многочлены P(x), для которых справедливо тождество xP(x–1) ≡ (x–26)P(x).

16. Пусть P(x)=x2–2. Найдите такой многочлен 3-й степени Q(x), что P(Q(x))=Q(P(x)).

9 класс, многочлены, корни и делимость

Определение. Многочлен P(x) делится на ненулевой многочлен Q(x) если существует такой многочлен H(x), называемый частным, что P(x) = Q(x)H(x).

Определение. Разделить многочлен P(x) на ненулевой многочлен Q(x) с остатком — это значит найти такие многочлены H(x) (неполное частное) и R(x) (остаток), что выполнено равенство P(x) = Q(x)H(x) + R(x), причем deg R(x) < degH(x).

17. Найдите все натуральные n, при которых число 3n3 + 2n2 + 3n + 4 делится на число n2 + 1.

18. Степень делимого равна 100, степень делителя равна 43. Чему могут быть равны степени частного и остатка?

19. Как изменятся частное и остаток, если делимое и делитель умножить на (х–1)?

20.Многочлен P(x) дает остаток x + 7 при делении на x2 – 1. Какой остаток даст он при делении на x + 1?

21. При делении многочлена P(x) на x2 – 1 был получен остаток x – 1, а при делении Q(х) на x2 – 1 был получен остаток x + 1. Найдите остаток при делении на x2 – 1 многочленов P(x) + Q(x); P(x) × Q(x).

22. Докажите, что если многочлен P(x) делится на многочлен Q(x), то всякий корень Q(x) является корнем P(x). Верно ли обратное?

23. Придумайте два квадратных трехчлена, ни один из которых не делится на x2 – 3x + 2, а их произведение делится на x2 – 3x + 2.

24. Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x)) на двучлен x–a равен P(a).

25. Следств. Многочлен P(x) делится на (x – a) тогда и только тогда, когда число a является корнем P(x).

26. Пусть P(1) = P(2)=0. Докажите, что P(x) делится на (x–1)(x–2).

27. Докажите, что число различных корней многочлена А(х) не больше deg А.

28. Числа a, b и c различны. Сколько корней может быть у уравнения ?

29. Дан многочлен P(x) такой, что многочлен P(xn) делится на x – 1. Докажите, что многочлен P(x) также делится на x – 1.

Определение. Если многочлен делится на (x – a)k, k ≥ 1, но не делится на (х – а)k+1, то говорят, что его корень а имеет кратность k.

30. Докажите, что число корней многочлена, даже с учетом их кратности, не превосходит его степени.

31. Пусть значения многочленов P и Q совпадают при п различных значениях переменной, и степени этих многочленов меньше n. Докажите, что тогда P =Q.

32. В скольких точках окружность может пересекать параболу?

33. а) Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде a+bx+cx(x–1).

б) Найдите уравнение параболы, проходящей через точки (0; 1), (1; 2) и (2; 4).

в) Докажите, что любой многочлен третьей степени можно представить как a+bx+cx(x–1)+dx(x–1)(x–2).

г) Найдите такой многочлен Р(х) степени 3, что Р(0) = 1, P(1) = 2, P(2) = 4, P(3) = 8.

34. Докажите, что для любых различных чисел a1, a2,…an, и любых чисел b1, b2, …, bn существует единственный многочлен P(x) степени меньше n такой, что P(a1)= b1, P(a2)= b2 ... P(an)=bn.

35. Докажите, что если значения двух многочленов, степень каждого из которых не превосходит n – 1, совпадают в n различных точках, то эти многочлены равны.

9 класс, многочлены и целые коэффициенты

Докажите, что если все коэффициенты многочлена Р(х) – целые числа, и a и b – также целые, то число (Р(a) – Р(b)) M (a – b).

Многочлен Р(х) таков, что Р(7) = 11, а Р(11) = 13. Докажите, что хотя бы один из его коэффициентов – не целое число.

P(x) – многочлен. Уравнение P(x)=x не имеет корней. Докажите, что уравнение P(P(x))=x тоже не имеет корней.

Докажите, что не существует многочлена Р(x) с целыми коэффициентами, для которого Р(–1) = 2 и Р(1)=1.

Коэффициентами многочленов нечетной степени Р(х) и Q(x) являются целые нечетные числа. Докажите, что у многочлена Р(х)ЧQ(x) есть хотя бы один четный коэффициент.

Известно, что все коэффициенты произведения многочленов P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами делятся на простое p. Докажите, что все коэффициенты P(x) или Q(x) делятся на p.