ГОРОДСКАЯ НАУЧНО - ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ

«ШАГ В БУДУЩЕЕ»

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

ХАНТЫ-МАНСИЙСКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ – ЮГРА

______________________________________________________________________________

КОНИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ИХ СВОЙСТВ

Научно-исследовательская работа

Авторы:

ученица 8а класса,

ученик 8б класса

муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения муниципального образования город Нягань

«Общеобразовательная средняя школа №3»

Научные руководители:

кызы

учитель математики

первой квалификационной категории,

учитель математики

первой квалификационной категории

муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения муниципального образования город Нягань

«Общеобразовательная средняя школа №3»

Нягань 2017

КОНИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ИХ СВОЙСТВ

Ханты-Мансийский автономный округ – Югра, город Нягань

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Общеобразовательная средняя школа №3», 8 класс

Аннотация

Конические кривые – парабола, гипербола, окружность, эллипс – широко встречаются и в природе, и в технике. Небесные тела в космосе движутся по этим траекториям; тело, брошенное под углом к горизонту, летит по параболе; верёвка или провод, подвешенные между двумя столбами, провисая, образуют параболу. Геометрические свойства каждой из этих кривых подсказали человеку способы их использования: параболические антенны, шуховские башни, "говорящие" арки и бюсты, и многое другое. Свойства этих линий широко применяются в жизни, а в школьном курсе математики они изучаются частично. Такая линия, как эллипс не изучается в школьной программе математики. Поэтому выбор темы данной работы актуален.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Цель: изучить оптические свойства конических кривых и их применение в жизни.

Методы и приёмы: поиск, анализ, синтез информации, обобщение, сравнение, эксперимент.

Практическая значимость:

● приобретен определенный опыт по изготовлению моделей приборов, с помощью которых можно проверить свойства конических кривых;

● знания, полученные при выполнении работы дали ответ на множество непонятных ранее вопросов, они могут пригодиться как в жизни, так и при выполнении нестандартных заданий на уроках, олимпиадах и на экзамене;

● возможность использования материалов исследования, компьютерной презентации, фильма на факультативах по математике и физике;

появление новых идей по применению свойств конических кривых в архитектуре, в частности при проектировании учебных кабинетов в школах; предложить администрации города организовать в городском музее физико-математическую лабораторию "Волшебство или наука", в рамках которой исследовать непонятные детям "чудеса" с точки зрения науки, тем самым привлекать молодёжь к исследованиям, к творчеству, развивать их любознательность и стремление познавать мир.

КОНИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ИХ СВОЙСТВ

Ханты-Мансийский автономный округ – Югра, город Нягань

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Общеобразовательная средняя школа №3», 8 класс

План исследований

Книга природы написана на языке математики. (Г. Галилей)

Актуальность: в современном мире при активном развитии техники имеется необходимость в знаниях о конических кривых. В природе эти кривые встречаются достаточно часто и имеют практическое приложение в жизни человека. Знание свойств конических кривых используется в различных механизмах, конструкциях и приборах.

К сожалению, в базовом курсе математики не рассматриваются все свойства конических кривых, а свойства эллипса не изучаются совсем.

Проблема: нет ответов на вопросы, связанные с пониманием принципа работы многих конструкций, приборов, и инструментов в окружающем нас мире.

Почему бывают "говорящие" арки? Почему в оперных театрах в огромных залах артисты поют без микрофонов и их прекрасно слышно в самом дальнем уголке? Почему большинство храмов имеют купола? Как можно делать операции по дроблению камней в почках, не применяя операционного вмешательства?

Цель: изучить оптические свойства конических кривых и их применение в жизни.

Задачи:

найти и изучить теоретический материал по выбранной теме; изготовить модели помещений с разным освещением, модель прибора для дробления камней в почках, модель электрического соединителя с гиперболоидными гнездами;

проверить экспериментальным путём действие оптических свойств конических кривых.

Гипотеза: оптические свойства конических кривых широко применяются в жизни. Если их изучить, то принцип работы некоторых конструкций и медицинских приборов станет понятным.

Объект исследования: конические кривые.

Предмет исследования: оптические свойства конических кривых.

Методы и приёмы: поиск, анализ, синтез информации, обобщение, сравнение, эксперимент.

Новизна работы заключается в изучении теоретического материала по данной теме, выходящей за пределы школьной программы, и изготовление моделей приборов и экспериментальная проверка с их помощью свойств конических кривых. На основании анализа теоретического материала, а также проделанных экспериментов, устанавливается, что свойства конических кривых находят применение на практике.

Практическая значимость:

Описание основных источников информации:

Математическая составляющая / Редакторы-составители , , . — М.: Фонд «Математические этюды», 2015. — 151 с.

В сюжетах, собранных в книге, рассказывается как о математической «составляющей» крупнейших достижений цивилизации, так и о математической «начинке» привычных, каждодневных вещей. Увлекательный, популярно-описательный стиль изложения делает материалы книги доступными для широкого круга читателей. Эта книга послужила основным источником информации при работе над выбранной темой.

https://ru. wikipedia.

В Википедии всегда можно получить наиболее полную информацию о чем угодно, будь то чья-либо биография или описания какого-то предмета или исторического события.

http://studopedia. ru/

Студопедия - это общедоступная информация для студентов и учащихся разных предметных областей. Здесь собрана уникальная и очень полезная информация для студентов и школьников.

КОНИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ИХ СВОЙСТВ

Ханты-Мансийский автономный округ – Югра, город Нягань

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Общеобразовательная средняя школа №3», 8 класс

Научная статья

Из истории конических сечений

Конические сечения впервые предложил использовать древнегреческий геометр Менехм, живший в IV веке до нашей эры. Для получения конических сечений Менехм пересекал конус - остроугольный, прямоугольный или тупоугольный — плоскостью, перпендикулярной одной из образующих. Для остроугольного конуса сечение плоскостью, перпендикулярной к его образующей, имеет форму эллипса. Тупоугольный конус при этом дает гиперболу, а прямоугольный – параболу. Отсюда произошли и названия кривых, которые были введены Аполлонием Пергским, жившим в III веке до нашей эры: эллипс (ЭллеЯшЯт ), что означает изъян, недостаток (угла конуса до прямого); гипербола (эрЭсвщлз) — преувеличение, перевес (угла конуса над прямым); парабола (рбсбвплз) — приближение, равенство (угла конуса прямому углу). Аполлоний Пергский посвятил этим кривым огромнейший трактат. В своей монографии «Конические сечения» (8 книг) он впервые показал, как можно получить все четыре кривые, включая и окружность, рассекая один и тот же конус плоскостью под разными углами.

Понятие конических сечений

Конические сечения - это плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. При вращении прямоугольного треугольника около одного из катетов, гипотенуза с ее продолжениями описывает коническую поверхность, называемую поверхностью прямого кругового конуса, которая может быть рассматриваема как непрерывный ряд прямых, проходящих через вершину и называемых образующими, причем все образующие опираются на одну и ту же окружность, называемую производящей. Каждая из образующих представляет собой гипотенузу вращающегося треугольника (в известном его положении), продолженную в обе стороны до бесконечности. Таким образом, каждая образующая простирается по обе стороны от вершины, вследствие чего и поверхность имеет две полости: они сходятся в одну точку в общей вершине. Если такую поверхность пересечь плоскостью, то в сечении получится кривая, которая и называется коническим сечением. Кривые могут быть трёх типов:

Если плоскость пересекает коническую поверхность по всем образующим, то рассекается только одна полость и в сечении получается замкнутая кривая, называемая эллипсом. Если секущая плоскость параллельна производящей окружности, то получается окружность, которая может быть рассматриваема как частный случай эллипса. Если секущая плоскость пересекает обе полости, то получается кривая, имеющая две ветви и называемая гиперболой. Если секущая плоскость параллельна одной из образующих, то получается парабола.

Конические кривые и их оптические свойства

Парабола — это геометрическое место точек, равноудалённых от прямой (называемой директрисой) и от не лежащей на директрисе точки (называемой фокусом) (рис.1).

Сформулируем оптическое свойство параболы. Если в фокусе параболы поместить точечный источник света (лампочку) и включить его, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно оси симметрии параболы, причём передний фронт будет перпендикулярен оси (приложение 1.1).

Верно и обратное — если на параболу падает поток лучей, параллельных оси симметрии, то, отразившись от параболы, лучи придут в фокус; причём придут одновременно, если передний фронт потока лучей перпендикулярен оси (приложение 1.2).

При вращении параболы вокруг её оси симметрии получается параболоид вращения — поверхность второго порядка (приложение 1.3).

При любом сечении параболоида плоскостями, проходящими через ось симметрии, получаются равные параболы с общим фокусом, поэтому параболоид тоже обладает оптическим свойством. Если поместить излучатель в фокус, то лучи, отразившись от поверхности, пойдут параллельно оси вращения. А если на параболоид падают лучи, параллельные его оси, то после отражения все они собираются в фокусе.

Оптическое свойство — принципиальная основа параболических антенн.

Антенны могут вращаться, пример — параболические антенны в аэропортах, по форме являющиеся «ломтиками» огромных параболоидов; они и передают, и принимают сигнал. Антенны могут быть неподвижными. К последнему типу относятся бытовые спутниковые телевизионные антенны («тарелки»): их нацеливают на спутник–ретранслятор, находящийся высоко над Землёй на геостационарной орбите, после чего их положение фиксируется. Поскольку спутник находится далеко от поверхности, приходящие от него лучи в точке приёма антенной можно считать параллельными. В фокусе спутниковой антенны находится приёмник, от которого сигнал по кабелю отправляется к телевизору (приложение 1.3).

Эта же идея применяется при создании прожекторов железнодорожных локомотивов, фар автомобилей, её можно использовать даже для приготовления еды в полевых условиях.

Оптическое свойство параболы «знает» и мир живой природы. Например, некоторые северные цветы, живущие в условиях короткого лета и недостатка солнечных лучей, раскрывают лепестки в форме параболоида, чтобы «сердцу» цветка было теплее.

Гипербола — кривая на плоскости, модуль разности расстояний от любой точки которой до двух данных, называемых фокусами, постоянен (рис.2).

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Оптическое свойство гиперболы. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе (рис.3). При вращении гиперболы вокруг её оси симметрии, перпендикулярной отрезку с концами в фокусах, получается поверхность — однополостный гиперболоид вращения (приложение 2.1), который владеет теми же свойствами, что и гипербола. это свойство использовали при строительстве Эйфелевой башни в Париже (приложение 2.2)..

Оказывается, что через каждую точку гиперболоида проходят две прямые, полностью лежащие на нём, лежащие на гиперболоиде. Каждая из них при вращении вокруг оси гиперболоида «заметает» всю поверхность. Такие линии называются образующими. Таким образом, изогнутая поверхность состоит из прямых. Именно это свойство и использовал при строительстве: каждая секция башни на Шаболовке «соткана» из образующих (приложение 2.3).

Эллипс — геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных точек (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами (рис.4).

Оптическое свойство эллипса. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе (приложение 3.1).

Оптическое свойство эллипса лежит в основе любопытного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и зданиях - речь человека, стоящего в некоторой точке, отлично слышна в другой, существенно удаленной от нее точки. В таких случаях стены или потолки помещений имеют форму эллипсов. Это свойство используют архитекторы для создания поразительных звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «мистического» шепота, «потусторонних» звуков (приложение 3.2).

Если источник звука находится в одном из его фокусов, то максимальная слышимость будет в другом фокусе. Поэтому если крыша здания или его стены имеют эллипсоидальную форму, то вне зависимости от остальной архитектуры здания, два человека, находящиеся в фокусах эллипсоида, могут прекрасно пошептаться, не обращая внимания на окружающих.

Применение свойств конических кривых. Сферические и асферические линзы.

Сегодня проблемы со зрением испытывает каждый второй житель России. Практически на каждом сайте Интернета, посвященном оптике, крайне рекомендуют асферические линзы. В чем же отличие асферических линз от других, и почему именно асферические линзы пользуются такой популярностью?

Поверхность простейшей сферической линзы образуется в результате вращения части окружности вокруг оси симметрии. Асферические линзы создают в результате вращения иных кривых, нежели сфера, – эллипс, парабола, гипербола (приложение 4.1).

Если асферической является передняя поверхность, то у минусовых очковых линз она при переходе от центра к периферии становится более крутой по сравнению со сферой, а у положительных – более пологой. Поэтому асферические линзы гораздо тоньше и легче сферических линз аналогичной оптической силы. Линзы обеспечивают лучшее качество зрения (меньше аберраций) и имеют более эстетичный вид. Аберрации сферических линз также можно минимизировать, но это неизбежно приведет к утолщению линзы, а следовательно, к уменьшению комфорта от её ношения.

Стоимость асферической линзы несколько выше, чем стоимость обычной, но высокая стоимость с лихвой окупается отличным качеством зрения.

Эксперимент по созданию модели помещений с разным освещением

Оборудование: две коробки, канцелярский нож, линза имеющая форму параболы, линза имеющая форму гиперболы, источник света (телефон).

На верхней грани коробки мы сделали с помощью канцелярского ножа прорезь по размеру линзы для освещения помещения. На боковой грани коробки сделали прорезь (смотровое окно) для фиксирования результатов эксперимента. Вставили в верхнюю прорезь коробки сначала линзу, имеющую форму параболы, и включили свет, а потом линзу, имеющую форму гиперболы.

В каждом случаи сфотографировали освещение помещения (приложение 4.2). Наши фотографии наглядно продемонстрировали оптическое свойство параболы и гиперболы.

Свойства конических кривых используют при изготовлении осветительных приборов. В зависимости от вида кривой (парабола или гипербола) можно получить лампы с собирающим и рассеивающим светом. Так свойство параболы используют в лампах освещения для фокусирования света в определённой точке (например, во время проведения операции) (приложение 4.3). Свойство гиперболы используют для изготовления ламп с рассеивающим светом, например, при кварцевании помещения (приложение 4.4).

Электрические соединители с гиперболоидными гнездами

Гиперболоидное гнездо – контактная технология, разработанная для обеспечения высокой надежности контакта электрического соединителя (рис.5). Конструкция гиперболоидных контактов удовлетворяет жёстким требованиям космических и авиационных систем, транспортной, промышленной и медицинской техники. Технология организации электрического контакта получила такое название, поскольку, если смотреть на гнездо, проволоки кажутся изогнутыми по гиперболе. Получившаяся поверхность представляет собой однополостный гиперболоид вращения, таким образом, диаметр в средней части меньше чем, диаметр по краям (приложение 5.1).

В обычном контакте, в условиях повышенных вибраций происходит кратковременное размыкание контакта (дребезг) и, как следствие, подгорание контактов, что приводит к увеличению переходного сопротивления, и может перевести к отказу соединителя. В гиперболоидном гнезде благодаря тому, что штырь подвешен в корзине из проволочек, а также осесимметричной конструкции размыкания контакта, а следовательно, и подгорания не происходит даже в условиях сильных вибраций. Большая поверхность контакта позволяет проводить больший ток на контакт. Благодаря конструктивным особенностям переходное сопротивление контакта не меняется в зависимости от температуры и срока наработки соединителя.

На современном этапе развития технологии гиперболоидных контактов электрических соединителей данный тип соединителей превосходит по надёжности, продолжительности эксплуатации, износостойкости, устойчивости к внешним воздействующим факторам и удобству применения все существующие схемы коммутации электрических цепей. Конструктивные и технологические особенности гиперболоидных контактов позволяют строить на их основе широкую гамму различных типов электрических соединителей для самых разнообразных применений, в том числе в медицинском оборудовании.

Эксперимент по созданию модели электрического соединители с гиперболоидным гнездом

Оборудование: деревянные палочки, цветные резинки.

Отсчитаем чётное количество палочек. Нам нужно приготовить из них пары. Для удобства желательно взять количество пар, кратное (например) пяти. Завяжем по одной резинке на середине каждой пары палочек (рис.6). Необходимо наматывать их не туго, не более 3-4 раз вокруг палочек. Надо расположить скрещенные палочки параллельно друг другу так, чтобы их средние резинки соприкасались, нижние и верхние концы смотрели соответственно в одну сторону и были параллельными. Когда четыре пары будут рядом, возьмем пятую пару палочек, и аккуратно соединим, с помощью резинки, её верхнюю часть с соответствующей верхней частью первой палочки. То же сделаем и снизу, не забывая, что верхние палочки должны проходить над всеми другими, а нижние – под верхними. Добавим новые пары палочек и соединим их сначала со второй, затем с последующими парами аналогично. Необходимо сохранять параллельность. После присоединения последней пары, проверим, чтобы концы нижних палочек из скрещивающих сверху и снизу резинок выходили наружу для получения закручивающего эффекта. Теперь надо соединить концы крайних палочек справа и слева друг с другом. Получилась модель гиперболоида (приложение 5.2). Если вставить внутрь гиперболоида любой предмет цилиндрической формы, и сильно встряхивая, попытаться разомкнуть получившееся соединение, то у нас ничего не получится. Соединение очень прочное.

Эксперимент по созданию модели радиобашни Шухова

Радиобашня Шухова имеет изящную сетчатую конструкцию, благодаря чему достигается минимальная ветровая нагрузка, представляющая главную опасность для высоких сооружений. По форме секции башни — это однополостные гиперболоиды вращения, сделанные из прямых балок, упирающихся концами в кольцевые основания. Мы изготовили модель двух секций этой башни. Проверили такое свойство как устойчивость, и прочность. Модель можно сжимать, растягивать, но конструкция не ломается.

Литотрипсия

В организме человека как побочный результат происходящего в нём обмена веществ иногда образуются камни (например, в почках). Камни беспокоят, даже могут угрожать жизни, поэтому с ними приходится бороться.

Литотрипсия (от древнегреческого - камень) - один из методов дистанционного разрушения камней с помощью ударных волн. Принцип работы многих аппаратов дистанционного воздействия основан на геометрических свойствах эллипса.

Как уже было сказано, эллипс обладает оптическим свойством. Если поместить точечный источник излучения (лампочку») в один из фокусов эллипса и включить его, то лучи, отразившись от эллипса, соберутся во втором фокусе. При этом все лучи придут во второй фокус одновременно, так как для каждого луча длина пройденного пути будет одна и та же (по определению эллипса).

Именно это оптическое свойство эллипса используется в дистанционной литотрипсии. Отражатель аппарата дистанционной литотрипсии - часть эллипсоида, «чаша», примыкающая к одному из фокусов, в котором размещается источник излучения. Пациента помещают так, чтобы совместить положение второго фокуса и положение камня - мишени волновой атаки

Конечно, излучение проходит и через ткани, окружающие камень, но только в фокусе одномоментно концентрируется вся энергия излучения, становясь и разрушающей, и целительной силой (рис.7).

Эксперимент по созданию модели прибора для дробления камней в почках

Оборудование: бумага, ножницы, поролон, канцелярский нож, нитка, зеркала, лазар - фонарь, карандаш, кнопки.

На бумаге мы построили эллипс. Для этого разделим лист двумя линиями (вертикальной, горизонтальной) на 4 равные части. Поставили ножку циркуля на нижний конец вертикальной линии и проведём дугу. Таким образом, мы нашли два фокуса на горизонтальной линии. Отметим их. Вставили в фокусы кнопки. С помощью карандаша и нити начертили эллипс и вырезали его, получив тем самым шаблон эллипса. С помощью шаблона начертили эллипс на поролоне.

Отметили фокусы. По контуру эллипса на поролоне сделали прорезь глубиной приблизительно 1 см, по всей линии эллипса. В прорезь установили зеркала зеркальной стороной во внутреннюю сторону эллипса. В один из фокусов поместили модель почки. В другой фокус поместили лазар - фонарь (приложение 6.2). Убедились, что луч лазара, вышедший из фокуса, после отражения от эллипса проходит через другой фокус.

Заключение

По итогам работы можно сделать следующие выводы:

оптические свойства кривых имеют практическое применение; приобретен определенный опыт по изготовлению моделей приборов, с помощью которых можно проверить свойства конических кривых; знания, полученные при выполнении работы дали ответ на множество непонятных ранее вопросов, они могут пригодиться как в жизни, так и при выполнении нестандартных заданий; гипотеза: "Оптические свойства конических кривых широко применяются в жизни. Если их изучить, то принцип работы некоторых конструкций и медицинских приборов, станет понятным", подтвердилась.

Полученные нами знания имеют практическое применение:

Созданный нами фильм можно применять как электронный ресурс на факультативах по физике и математике. Макеты, полученные в результате работы, можно использовать, как наглядное пособие на уроках физики или математики. Рекомендовать архитекторам, проектирующим учебные заведения применять при строительстве школ свойства конических кривых, с целью улучшения акустики в кабинетах. Предложить администрации города организовать в городском музее физико-математическую лабораторию "Волшебство или наука", в рамках которой исследовать непонятные детям "чудеса" с точки зрения науки, тем самым привлекать молодёжь к исследованиям, к творчеству, развивать их любознательность и стремление познавать мир.

Источники информации:

Математическая составляющая / Редакторы-составители , , . — М. : Фонд «Математические этюды», 2015. — 151 с. https://ru. wikipedia. org/wiki/ http://studopedia. ru/ http:// http://function-x. ru/ http://ru. / https://www. wikiplanet. click/ http:/// http://delostroika. ru/ http://заводатлант. рф/ https://dobro. pw/chto-takoe-litotripsiya/ http://mkb-net. ru/litotripsiya-pochek. html http://optica-raduga. ru/aspher

Приложение 1.1

Оптическое свойство параболы