Задача ЕГЭ №29

Задача ЕГЭ №29. Система из грузов m и M и связывающей их лёгкой нерастяжимой нити в начальный момент покоится в вертикальной плоскости, проходящей через центр закреплённой сферы. Груз m находится в точке A на вершине сферы (см. рисунок). В ходе возникшего движения груз m отрывается от поверхности сферы, пройдя по ней дугу 30°. Найдите массу M, если m = 100 г. Размеры груза m ничтожно малы по сравнению с радиусом сферы. Трением пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы.

Дано: б=р/6; m=0.1 кг.

Найти: M=?

Решение. Изменим рисунок с учетом того, что нить, начиная от горизонтального диаметра сферы, не действует на сферу

В этом положении система грузов будет обладать потенциальной энергией относительно горизонтального уровня, проходящего через центр сферы.

При перемещении груза m по сфере до момента отрыва равно длине дуги S:

Тогда нижний груз M опустится на высоту h:

Потенциальная энергия системы в момент отрыва груза m:

В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, механическая энергия системы этих грузов сохраняется

Откуда

Груз m в точке отрыва движется по окружности R, но уже не давит на сферу. Поэтому его центростремительное ускорение вызвано только силой тяжести:

Подставляя значение v2, получим

Отсюда

Ответ.