Правильная пирамида. Свойства
Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.
Теорема
Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему. 
Доказательство
Если сторона основания a, число сторон n, то боковая поверхность пирамиды равна: 
где l – апофема, p – периметр основания пирамиды. Теорема доказана.
Теорема. Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:
1) боковые рёбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части;
2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию;
3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.
Следствие. У правильной усечённой пирамиды верхнее основание есть правильный многоугольник, подобный нижнему основанию, а боковые грани суть равные и равнобочные трапеции
Теорема. Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.
Следствие. Если В = В1, то и b = b1 , т. е. если у двух пирамид с равными высотами основания равновелики, то равновелики и сечения, равноотстоящие от вершины.
Теория.
Теоремы о пирамидах, в которых основание высоты является центром описанной или вписанной окружности основания пирамиды.
- Если все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то:
а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды;
б) все боковые ребра пирамиды равны между собой.
- Если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около ее основания, то:
а) все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы;
в) все боковые ребра пирамиды равны между собой.
- Если все боковые ребра пирамиды равны, то:
а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды;
б) все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью ее основания равные между собой углы.
- Если высота пирамиды пересекает ее основание и все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в ее основание. Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды, то боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы. Если у треугольной пирамиды все боковые ребра равны, а в основании лежит прямоугольный треугольник, то грань, содержащая его гипотенузу, перпендикулярна основанию. Основание высоты данной пирамиды является середина гипотенузы.
Теоремы о пирамидах, в которых одна или две боковые грани перпендикулярны плоскости основания.
- Если пирамида содержит ровно одну боковую грань, которая перпендикулярна плоскости основания, то высота такой пирамиды лежит в этой боковой грани. Если пирамида содержит две смежные боковые грани, перпендикулярные плоскости основания, то высотой такой пирамиды является боковое ребро, общее для этих граней. Если в пирамиде две не смежные боковые грани перпендикулярны плоскости основания, то высота такой пирамиды лежит на прямой пересечения плоскостей этих граней. Если боковое ребро пирамиды перпендикулярно основанию, то и боковые грани, содержащие это ребро, перпендикулярны основанию. Если в четырехугольной пирамиде в основании ромб, и две смежные боковые грани перпендикулярны основанию, то боковые грани данной пирамиды – две пары равных треугольников.
Связанные определения
- Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины. Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра. Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.
Свойства тетраэдра
Правильный тетраэдр | |
| |
Тип | Правильный многогранник |
Грань | Треугольник |
Вершин |
|
Рёбер |
|
Граней |
|
Граней при вершине |
|
Длина ребра |
|
Площадь полной поверхности |
|
Объём |
|
Высота |
|
Радиус вписаной сферы |
|
Радиус описанной сферы |
|
Угол наклона ребра |
|
Угол наклона грани |
|
Телесный угол при вершине |
|
Точечная группа симметрии |
|
Двойственный многогранник | Тетраэдр |
ср
, или Td- Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам. Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра делит его на две равные по объёму части.
Типы тетраэдров
Выделяют:
- равногранный тетраэдр, у которого все грани — равные между собой треугольники; ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке; прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой; правильный тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники; каркасный тетраэдр — тетраэдр, отвечающий любому из условий:
- Существует сфера, касающаяся всех ребер. Суммы длин скрещивающихся ребер равны. Суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны. Окружности, вписанные в грани, попарно касаются. Все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, — описанные. Перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
