Неравенство для лобового сопротивления выпуклого тела в теории локального взаимодействия

Санкт-Петербургский государственный университет

Механика и математическое моделирование

Гидроаэромеханика

Неравенство для лобового сопротивления выпуклого тела в теории локального взаимодействия

Бакалаврская работа

Научный руководитель:

(Профессор, д. ф.-м. н., профессор)

Рецензент:

(Главный научный сотрудник, д. ф.-м. н., с. н.с.)

Санкт-Петербург

2017

SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY

Mechanics and Mathematical Modeling

Hydroaeromechanics

Ekaterina Orlova

Inequality for convex body drag in local interaction theory

Bachelor’s Thesis

Scientific supervisor:

(Professor, Dr. Sci.(Phys.-Math.), Professor) Roman Miroshin

Reviewer:

(Head senior researcher, Dr. Sci.(Phys.-Math.), Senior Researcher) Anatoly Ryabinin

Saint-Petersburg

2017

Содержание

Введение………………………………………………………..………………….4

Вывод неравенства для конкретных функций………..…………………………5

  Модифицированная формула Ньютона……………....…………………...…5

  Зеркально-диффузная модель……………………………………....................6

  Ленинградская аппроксимация……………….….……...……………………..7

  Формула для расчета силы сопротивления, испытываемого ударником при проникании с большой скоростью в грунты и металлы………….…...…..8

Пример………………………………………...…………………..……………….9

Заключение…………………..…………………………………………………...11

Список использованной литературы……..………………………...…………..12

Введение

При конструировании каких-либо тел, например, летательных или подводных аппаратов, необходимо учитывать параметры, удовлетворяющие ограничениям и уравнениям существования и обеспечивающие конкретные характеристики данного аппарата, которые отвечают заданным техническим требованиям. Точные расчеты этих параметров требуют слишком много времени и сил и поэтому не являются подходящими для проектирования формы этого тела. В такой ситуации разумнее воспользоваться приближенной оценкой, которая хоть и не является настолько точной, но зато позволяет гораздо быстрее определить аэродинамические силы и моменты рассматриваемого тела, не прибегая к сложным вычислениям. Полуэмпирическая теория, теория локального взаимодействия (ТЛВ), как раз и позволяет это реализовать и, оценив, почти в один миг сделать соответствующие выводы о характеристиках этого аппарата.

Первым в истории использования ТЛВ стал Исаак Ньютон, который получил формулу для давления при неупругом отражении атомов газа поверхностью, поместив на пути эпикуровских атомов, движущихся «непрерывно и вечно и с равной скоростью», абсолютно неупруго их отражающую преграду. Формула применялась при определении ветровой нагрузки на здания и сооружения в течение двух столетий, а затем и в задачах проникания ударника в преграду, сразу после ее уточнения. В книге «Метод моментов в аэродинамике» (глава 3, §1) поэтапно рассказывается о развитии ТЛВ и ее использовании в работах ученых разных стран в разное время.

в своей статье «Использование обобщенного неравенства Левина–Стечкина в теории локального взаимодействия» на примере коэффициента лобового сопротивления демонстрирует с помощью неравенства, обобщающего классическое неравенство Левина–Стечкина, использование ТЛВ при оценке снизу аэродинамического коэффициента, рассматривая осесимметричные выпуклые летательные аппараты.

ТЛВ является частным случаем метода касательных конусов. Это видно из формулы безразмерного коэффициента реакции среды на движущееся в ней тело: C(б) = , где SM  – характерная площадь тела, tg в = r'/l', а для коэффициента реакции Cв (б) острого кругового конуса с единичным радиусом основания и углом полураствора в под углом атаки б (углом между осью тела и направлением набегающего потока) верна формула: Cв (б) = , где

J(R) = 1 при R > 0, J(R) = 0 при R < 0, R = (t – с0)( с1 – t),  с0 = sin(в – б),  с1 = sin(в + б),  f(t) – функция реакции, аккумулирующая в себе физику взаимодействия газа и поверхности обтекаемого тела.

Вывод неравенства для конкретных функций

На примере модифицированной формулы Ньютона в статье показано, как отыскать нижнюю границу для коэффициента Cв (б) и, следовательно, для C(б) любого другого выпуклого тела. Используемый для этого метод разработан при выводе неравенства Левина–Стечкина в теории функций вещественного переменного и подробно описан в этой статье.

Модифицированная формула Ньютона.

Для данной формулы функция реакции имеет вид:

f(t) = 2с0 t3 (если 0 < t < 1, с0 > 0) или f(t) = 0 (если  –1 < t < 0), где t = cos(n, v) (косинус местного угла падения), а коэффициент Cв (б) = при взятии таких б и в, что 0 < с0 < с1. Для этого интеграла берется интервал [a, b] вместо [0,1] и производится оценка методом, изложенным в статье и дополненным процессом ортогонализации.

В предположении, что q(t) – выпуклая, непрерывная в (a, b), рассматривается интеграл I = , 0 < a < b и выводится конечное неравенство: I >  = Z. Если посчитать точное значение для интеграла I, то получим: I = = = == = = =

= .

Т. к. I – Z = > 0, то I > Z и неравенство выполнено.

Зеркально-диффузная модель

Рассматриваем интеграл I =, 0 < a < b, q(t) – выпуклая, непрерывная в (a, b), для функции реакции f(t) = 2(2 – у – у1) t3+2t у1 зеркально-диффузной функции.

Построим из системы функций {1, t, f(t)} систему ортогональных в [a, b] функций {1, M(t), ц(t)} с помощью процесса ортогонализации.

M(t) = a10 + t  – ортогональный к 1 полином, , . Проинтегрировав и сделав необходимые преобразования, получаем, что , , . Включив в процесс ортогонализации функцию f(t), получим: ц(t) = a20 + a21 M(t) – f(t). Из условий ортогональности ц(t) к 1 и к M(t) можем найти коэффициенты a20 и a21. Т. к. и, то и .

В статье были проанализированы соответствующие функции и проверены, таким образом, необходимые условия для получения неравенства, обобщающего неравенство Левина-Стечкина: . Чтобы оно оказалось верным, мы должны показать, что функция ц(t) имеет не более двух нулей. Применяем неравенство к интегралу I =, где a = с0 > 0, b = с1 < 1 и находим коэффициенты: , и получаем:

ц(t) = , где B = > 0,

C = >0.

Воспользовавшись правилом знаков Декарта, можем установить, что у ц(t) не более двух нулей, и, следовательно, обобщенное неравенство будет выполнено.

Т. к. , , то получаем в итоге:

Можем посчитать точное значение интеграла I и получим:

I – Z = > 0 и, значит, неравенство является корректным.

Ленинградская аппроксимация

Для ленинградской аппроксимации функция f(t) = 4л3 t3+(л1 – 3л3) t.

Аналогично предыдущему примеру строим систему ортогональных функций и получаем для ц(t) = a20 + a21 M(t) – f(t) такие же формулы нахождения коэффициентов a20 и a21: и . После вычисления получаем:

,

Подставив эти значения в выражение для функции ц(t), получаем:

ц(t) = , где B = > 0,

C = >0.

Для интеграла I =, где a = с0 > 0, b = с1 < 1, получаем неравенство в виде:

Если вычислим интеграл I точно, то получим:

Следовательно, получаем, что  I – Z = > 0,

т. е. I > Z и неравенство справедливо для функции  f(t) = 4л3 t3+(л1 – 3л3) t.

  Формула для расчета силы сопротивления, испытываемого ударником при проникании с большой скоростью в грунты и металлы

Теперь возьмем другую функцию реакции. Для данной модели она будет иметь вид: f(t) = bt3 + at.

Пользуясь процессом ортогонализации, точно так же, как и для рассмотренных выше примеров, строится система ортогональных функций, и выражение для ц(t) будет иметь вид: ц(t) = a20 + a21 M(t) – f(t). Коэффициенты a20 и a21 можем найти из формул, полученных ранее: и . Проведя соответствующие вычисления, получим:

,

.

Найдя коэффициенты, можно записать выражение для ц(t):

ц(t) = , где B = > 0,

C = >0.

Неравенство для интеграла I =, где a = с0 > 0, b = с1 < 1, будет иметь вид:

Точное значение интеграла I:

Произведя необходимые вычисления и преобразования, получим результат: I – Z = > 0, т. е. I > Z.

Таким образом, неравенство и в этом случае оказалось верным.

Пример

  Рассмотрим конус с углом полураствора  , и пусть поток набегает под углом . Тогда , а . В качестве среды возьмем разреженный газ, основным параметром подобия которого является число Кнудсена. Оно определяется из формулы , где – средняя длина свободного пробега молекул газа, – характерный размер обтекаемого тела. Если , то получаем свободномолекулярный режим обтекания тела, если – режим сплошной среды. При больших числах Маха в обоих этих случаях расчет коэффициентов аэродинамических сил и моментов выпуклого тела с приемлемой для практики точностью может производиться на основе теории локального взаимодействия. При в промежуточном по числу Кнудсена режиме этот расчет также можно произвести на основе упомянутой теории.

  Проверим, будет ли выполнено неравенство I > Z, выведенное для ленинградской аппроксимации с функцией реакции  f(t) = 4л3 t3+(л1 – 3л3) t, где  ,

, а коэффициенты режима и зависят от числа Кнудсена.

  Представим и в виде , , где , , ,

, и – значения и в свободномолекулярном пределе, и – в пределе сплошной среды. При (отношение удельных теплоемкостей для воздуха), и предельные значения и были получены из эксперимента в аэродинамической трубе Коппенвальнером (см. [1]): , . Для сплошной среды , , где . Тогда получим , .

  Из графика видно, что неравенство I > Z для данного частного случая будет выполнено.

Заключение

В каждой модели, пользуясь неравенством, обобщающим неравенство Левина-Стечкина, оценили коэффициент реакции среды на острый круговой конус, движущийся в этой среде. Вычислив, кроме этого, точные значения интеграла и сравнив их с приближенными, можно сказать, что они довольно близки друг к другу, а при малых углах атаки б их разница стремится к нулю, т. е. приблизительная оценка интеграла почти совпадает с истинным значением. Вследствие этого можно сказать, что при проектировании формы тела пользоваться данным методом очень удобно, быстро и результаты, получающиеся при этом, ничуть не хуже тех, что появятся при прямых вычислениях.

Список использованной литературы

Мирошин, методы в механике сплошных сред / , . – СПб. : Изд-во СПбГУ, 2002. – 304 с.
Мирошин, моментов в аэродинамике / . –  СПб. : Издательство ВВМ, 2012. – 141 с.
Мирошин, обобщенного неравенства Левина-Стечкина в теории локального взаимодействия / // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Сер. 1. – 2013. – Вып. 3. – С. 126-130.