Функция

План:

Введение  стр.3

Глава 1Понятие функции, свойства и способы задания.  стр.4

Глава 2Понятие линейной функции, её свойства и график.  стр.8

Глава 3 Применение линейной функции в жизни человека.  стр.10

Заключение  стр.22

Список литературы  стр.23

Приложения  стр.24

  Введение  Впервые, функция вошла в математику под именем «переменная величина»в знаменитом труде французского математика и философа Р. Декарта «Геометрия»(1637г.), и её появление послужило, поворотным пунктом в математике, благодаря чему в неё вошли движение и тем самым диалектика. Переменная Декарта открыла перед математикой перспективы описания процессов. Декарту удалось уничтожить пропасть, лежащую со времён древнегреческой математики, между геометрией и арифметикой.  Актуальность выбранной темы – познание, описание реальных процессов, происходящих в природе на языке математики в виде функций( в частности линейной функции). Как образно заметил великий Г. Галилей(1564 –1642), книга природы написана на математическом языке и её буквы – математические знаки и геометрические фигуры, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте. А именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения присущие природе.

Цель исследования - поиск задачна применение линейной функции в жизни человека.

Задача исследования:

1. Изучение научной литературы по данной теме.

2. Составление и решение задач по теме, оценка полученных результатов.

Методы исследования: анализ научной литературы, анализ и решение задач, сравнение результатов с реальной действительностью.

Первая глава работы носит вспомогательный характер. В ней даётся общее понятие функции, её свойства и способы задания.

Во второй главе вводится понятие линейной функции, её свойства и график.

В третьей главе разбираются задачи на применение  линейной функции в жизни человека. 

Глава 1. Понятие функции, свойства и способы

её задания.

Понятие  функции:

Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствии  число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у(х). При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у – зависимой переменной или функцией.

Свойства функции:

1.Область определения.

Областью  определения функции называют множества всех значений, которые может принимать её аргумент.

2. Множества значений.

Множества значений функции называется множества всех значений, которые может принимать функция.

3.Монотонность функции, т. е. возрастание и убывание функции.

Функция у(х) называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. для любых х1, х2, принадлежащих данному промежутку, из неравенства х2>х1 следует неравенство у(х2)>у(х1).

Функция у(х) называется убывающей на промежутке, если для любых х1,х2 из этого промежутка из неравенства х2>х1 следует, что у(х2)<у(х1).

4. Чётность и нечётность функции.

Функция у(х) называется чётной, если у(-х)=у(х) для любого х из области определения это функции.

Функцияу(х) называется нечётной, если у(-х)=-у(х) для любого х из области определения этой функции.

Функции, графики которых симметричны относительно оси ординат  называют чётными.

Функции, графики которых симметричны относительно начала координат, называют нечётными.

У чётной и у нечётной функции область определения симметрична относительно начала координат.

Существуют функции, которые не обладаю свойствами чётности или нечётности.

5. Нули функции, положительные значения функции, отрицательные значения функции.  6. Ограниченность функции.

Определение. Функцию y=f(x)называют  ограниченной снизу на множества Х D(f), если существует число m такое, что для любого значения х Х выполняется неравенство f(x)>m.

Определение. Функцию y=f(x)называют ограниченной сверху на множестве Х D(f), если существует число М такое, что для любого значения х Х выполняется неравенствоf(x)<M.

Если функция ограничена и снизу и сверху, то её называют ограниченной.

7. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Определение. Число m называют наименьшим значением функции у=f(x),если:

  1) существует число х0 Х такое, что f(x0)=m;

2) для любого значения х Х выполняется неравенство

f(x) ≥f(x0).

Определение. Число М называют наибольшим значением функции у=f(x),на множестве Х D(f), если:

  1) существует число х0 Х такое, что f(x0)=М;

  2)для любого значения х Х выполняется неравенство

f(x) ≤ f(x0).

8. Свойство выпуклости функции.

Считается, что функция выпукла вниз на промежутке Х, если, соединив любые две точки её графика ( с абсциссами из Х) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведённого отрезка.

Функция выпукла вверх на промежутке Х, если, соединив любые две точки её графика (с абсциссами из Х) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведённого отрезка.

Графиком функции называется совокупность всех точек на плоскости, прямоугольные координаты которых х и у удовлетворяют уравнению у=f(х).

Горизонтальную осьОх называют осью абсцисс, вертикальную ось Оу называют осью ординат.

Прямоугольную систему координат на плоскости ввёл французский  математик Рене Декарт(1596-1650). В своей книге «Геометрия»(1637г.) Декарт впервые ввёл в понятия переменной величины и функции, ввёл  общепринятые теперь знаки для переменных (х, у,z …), для коэффициентов(а, b,k,…), а также для степеней (а3, х5,…). Записи формул у Декарта почти не отличаются от современных. Рене Декарт заложил основы аналитической геометрии, создав метод прямоугольных координат. Рене Декарт прямоугольную систему координат на плоскости стал активно использовать для замены алгебраических моделей геометрическими. Поэтому прямоугольную систему координат ещё называют «декартова система координат», «декартовы координаты». Его «Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики.

Способы задания функции:

1. Табличный способ.

При этом способе ряд отдельных значений аргумента х1, х2,…хк и соответствующий ему ряд отдельных значений функции у1,у2,…уК задаются в виде  таблицы. Несмотря на простоту, такой способ заданий функции обладает существенным недостатком, т. к. не даёт полного представления о характере функциональной зависимости между х и у и не является наглядным.

2.Словесный способ.

Обычно этот способ задания иллюстрируют примером функции Дирихле у=D(х): если х – рациональное число, то значение функции у=D(х) равно 1, а если число х-иррациональное, то значение функции D(х) равно нулю. Таким образом, чтобы найти значение D(х0) при заданном значении х=х0, необходимо каким-либо способом  установить, рациональное или иррациональное число х0.

3.Графический способ.

Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции у=f (х). Преимущество такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции. Недостаток графического способа заключается в невозможности применения математического аппарата для более детального исследования функции.

4.Аналитический способ.

При аналитическом способе задания известна формула, по которой  по заданному значению аргумента х можно найти соответствующие значения функции у. В математике чаще всего используют именно аналитический способ задания функции. Преимуществами такого способа задания является компактность, возможность подсчёта значенияу, при любом значении х и возможность применения математического аппарата для более детального исследования поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции присуще недостаточная наглядность.

Для подробного изучения поведения функции лучше всего сочетать исследование аналитического  выражения функции с построением её графика.

Глава 2. Линейная функция её свойства и график

Функция вида у=kx+m называется линейной, где k, m – числа (k - угловой коэффициент, m –свободный член), х - независимая переменная (или аргумент), у - зависимая переменная (или функция).

Свойства:

1.Областью определения этой функции является промежуток (-∞;+∞) (D(f)= (-∞;+∞)) или R-множество всех действительных чисел.

2.Областью значения является промежуток (-∞; +∞) (E(f) =(-∞;+∞)) или R-множество всех действительных чисел.

Графиком линейной функции у=kx+m является прямая.

Для построения прямой достаточно две точки.

Коэффициент k равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением осиОх.

3. Если k>0, то линейная функция y=kx+m возрастает. Рис.1

Если  k<0, то линейная функция y=kx+m убывает. Рис.2

4. Не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

6. Функция непрерывна.

Если k=0,m≠0 то функция примет вид y=m. Графиком этой функции будет прямая параллельная осиОх. Рис.3

Если m=0, k ≠0то функция примет вид y=kx. Рис.4

Графиком линейной функции y=kx является, прямаяпроходящая через начало координат.

k– угловой коэффициент. От коэффициента k зависит угол, который построенная прямая образует с положительным направлением осих; этот угол отсчитывает от оси х в направление против часовой стрелки. Если k>0, то этот угол острый; если k<0, то этот угол тупой.

Свойства линейной функции у = kx при k0

1) Область определения функции – множество R всех действительных чисел.

2) Корни – единственный корень х=0

3) Промежутки постоянного знака зависят от знака параметра k:

k>0, то у>0 при х >0; у<0 при х <0;

k<0, то у>0 при х<0; у<0 при х>0.

4) Экстремумов нет.

5) Монотонность функции:

если k>0, то у возрастает на всей числовой оси;

если k<0, то у убывает на всей числовой оси.

6) Наибольшего и  наименьшего значений нет.

7) Область значений – множество R.

8) Чётность – функция у =k х нечётная

Прямая, служащая графиком линейной функции y=kx+m, параллельна прямой, служащей графиком линейной функции y=kx. Рис.5

Взаимное расположение графиков линейных функций

Линейные функции	Алгебраическое условие	Геометрический вывод
y=k1x+m1 y=k2x+m2	1)k1=k2, m1≠m2	Прямые y=k1x+m1 и y=k2x+m2  параллельны.
2) k1=k2, m1=m2	Прямые y=k1x+m1 и y=k2x+m2  совпадают.
3) k1≠k2	Прямые y=k1x+m1 и y=k2x+m2  пересекаются.

Глава 3. Применение линейной функции в жизни человека.  Многие реальные ситуации описываются математическими моделями, представляющими собой линейные функции.

Задача 1. На складе было 500т угля. Ежедневно стали  подвозить по 30т угля. Сколько угля будет на складе через 2,  4, 10 дней?
Решение.
Пусть х-дни
у(тонн) - количество  угля на складе.
Линейная функция у=500+30х, где х ЄN (N - множество натуральных чисел) есть математическая модель ситуации. При х=2 имеем у=560т;
При х=4 имеем у=620т;
При х=10 имеем у=800т;

Ответ: 560т; 620т; 800т

Задача 2. На складе было 500т угля. Ежедневно стали увозить по 30т угля. Сколько угля будет на складе через 2,4,10 дней?
Решение.

Пусть х-дни
у(тонн)- количество угля на складе.

Здесь математической моделью ситуации является линейная функция у=500-30х, хЄ{1,2,3,...16} С помощью этой модели нетрудно ответить на вопрос задачи:

если х=2, то у=440т;

если х=4, то у=380т;
если х=10, то у=200т.

Ответ: 440т; 380т; 200.

Задача 3. Турист проехал на автобусе 15км от пункта А до пункта В, а затем продолжил движение из пункта В в том же направлении, но уже пешком, со скоростью 4км/ч. На каком расстояние от пункта А будет турист через 2ч, через 4ч, через 6ч ходьбы?

Решение:

Математической моделью ситуации является линейная функция у=15+4х, хЄ [0:6],

где х-время ходьбы (в часах)

у-расстояние от А (в километрах)

С помощью этой модели отвечаем на вопрос задачи:

если х=2ч, то у=23км;

если х=4ч, то у=31км;

если х=6ч, то у=39км

Задача 4. Известно, что, чем глубже под поверхностью земли мы находимся, тем выше температура воздуха. Для одной из шахт установили, что температура воздуха в ней можно вычислять по формуле t=10+ где

t - температура(в °С),

h-глубина под поверхностью земли(в метрах)

1)Вычислите температуру воздуха в шахте наглубине: 

а) 20м; б) 600м; в) 100м; г) 170м

2) Является ли зависимость температуры воздуха в шахте от её глубины линейной функцией? Чему в этом случае равны коэффициенты k и m? 

3) Начертите координатные оси, выберите на них подходящий масштаб и постройте график функции t=10+

где 0≤h≤800.

4) С помощью построенного графика найдите t, если:

а) t=150; б) t=220; в) h=460; г)h=0

В каждом случае истолкуйте результат.

5) С помощью построенного графика определите, на какой глубине в шахте мы находимся, если температура воздуха там равна:

а) 10°С; б) 15°С; в) 17°С; г) 11°С.

6) С помощью графика определите:
а) на сколько градусов повысится температура воздуха, если с глубины 300м опустится на глубину 500м; с глубины 100м опустится на глубину 200м.

б) на сколько градусов понизится температура воздуха, если с глубины 300м подняться на глубину 50м.

  Решение:
1) а) Если h=20м, то t=10,2С

б) Если h=600м, то t=16°С

в) Если h=100м, то t=11°С

г) Если h=170м, то t=11,7°С

2) Зависимость температуры воздуха в шахте от её глубины является линейной функцией, где k=0,01, m=10.

3) График функции Рис.6

4) а) Если h=150м, то t=11,5°С

б) Если h=220м, то t=12,2°С

в) Если h=460м, то t= 14,6°С

г) Если h=0м, то t=10°С

5) а) если t=10°С, то h=0м

б) если t=15°С, то h=500м

в) если t=17°С, то h=700м

г) если t=11°С, то h=100м

6) а) t (300) =13°С; t (500) =15°С температура повысится на 2°С

t (100) =11°С; t (200) =12°С температура повысится на 1°С

б) t (300) =13°С; t (50) =10,5°С температура понизится на 2,5°С

Используя формулу температура воздуха в шахте от глубины шахты можно отслеживать температуру при которой работают рабочие, находясь на той или иной глубине шахты.
Обратно: по температуре в шахте, можно отследить на какой глубине работают рабочие.

Задача 5.На рис. 7изображён  график движения велосипедиста из пункта А в пункт В и график движения пешехода из пункта В в пункт А. Ответьте на вопросы:

1) на каком расстоянии от пункта А находится пункт В;

2) на каком расстоянии от пункта А были велосипедист и пешеход через 0,5 часа, через 1 час после начала движения;

3) через какое время после начала движения велосипедист, встретил пешехода; сколько километров к этому времени проехал велосипедист ;

4) кто раньше прибыл в  конечный пункт; велосипедист или пешеход - и на сколько времени?

Решение:

1) АВ=15 км

2) Через 0,5ч(1ч) велосипедист был на расстоянии 6 км(10км) от пункта А, а пешеход на расстоянии 12 км(10км).

3) Через 1 час после начала движения велосипедист встретит пешехода. Велосипедист к этому времени проехал 10км.

4) Велосипедист прибыл в конечный пункт на 1,5 часа.

Задача 6. Используя графики на рис. 7определите:

1)  какова скорость движения велосипедиста;

2) какова скорость движения пешехода;

3) задайте формулой зависимости  расстояния, на котором находится велосипедист (пешеход) от пункта А, от времени движения.

Решение:

1)  Скорость велосипедиста 10км/ч

2) Скорость пешехода 5км/ч

3) S(t)=10t-формула движения велосипедиста.

S(t)=-5t+15-формула движения пешехода.

Вывод:

Зная формулу движения велосипедиста(пешехода) мы сможем определить, где в данный момент времени они находятся, время встречи, когда прибудут в конечный пункт, сколько времени затратят на весь пункт. По графику мы можем наглядно всё это видеть.

Задача 7. На рисунке8  изображены графики движения автомобиля и автобуса. Используя графики, ответить на вопросы:

1) Какой путь прошёл за первые 3ч автобус? автомобиль?

2) Какой была скорость до остановки?

3) Какой путь прошла каждая из автомашин до остановки?

4) Сколько времени двигался до остановки автобус? автомобиль?

5) Какой была продолжительность стоянки автобуса и автомобиля?

6) Какой стала скорость движения автобуса и автомобиля после остановки?

Решение:

1) Автобус прошёл 150км, автомобиль 180км;

2) Скорость автобуса 60км/ч, автомобиля 80км/ч;

3) Автобус прошёл 150км, автомобиль 160км;

4) Автобус двигался 2ч, автомобиль 1,5ч;

5) Автобус стоял 1,5ч, автомобиль 30мин;

6) Скорость автобуса стала 40км/ч, автомобиля 60км/ч.

Задача 8. Турист проехал от города 10км на автобусе, а затем продолжал движение в том же направлении пешком со скоростью 5км/ч. На каком расстоянии s турист был от города через tч ходьбы?

Решение:

S=5t+10

Задача 9. Используя график зависимости массы m воды и льда от объёма v (Рис.9), ответить на вопросы:

1) Является ли функции m(v) линейной?

2) Какой объём занимают лёд и вода, если они имеют одинаковую массу, равную 500г?

Решение:

1)m(v) линейная функция, v≥0

2) При m=500г, vводы=3оо см3, vльда=400 см3.

Задача 10. На рис.10 изображён график движения пешехода из пункта Вв пункт Е. Используя этот график, ответить на вопросы:

На каком расстоянии от пункта Е находится пункт В? С какой скоростью двигался пешеход? На каком расстоянии от пункта В он сделал привал? Сколько времени длился привал? Через какое время после привала пешеход прибыл в пункт Е? Записать формулой функцию s(t) на участках графика ВС, DE, CD

Решение:

1)BE=40 км

2) 5 км/ч

3) 20км

4) 2 часа

5) Через 4 часа;

S (t) = -5t+40 на участке BC

S (t)= - 5t+50 на участке ДЕ

S (t) =20 на участке CD

С помощью линейной функции описываются многие физические процессы.

Пример 1: При равнопеременном движении скорость является линейной функцией времени: v=v0+at

Пример 2: m=v, где m-масса газа, -плотность газа, v-объём.

Пример 3: При начале нагревания вода в кипятильнике имела, температуру 6°С. При нагревании, температура воды, повышалась каждую минуту, на 2°С. Найдите, формулу выражающую изменение температуры Тводы в зависимости от времени t её нагревания. Будет ли функция Т(t) линейной? Чему равно Т(20), Т(31)? Через сколько минут после начала нагревания вода закипит?

Решение:

Т(t)=6+2t, где 6°С воды при начале нагревания, 2°С повышение температуры воды каждую минуту при нагревании, Т изменение температуры воды, tвремя нагревания воды.

Т(t) - линейная функция.

Т(20) =46°С

Т(31) = 68°С

100°С-температура кипения воды

100=6+2t

t=47мин - закипит вода.

Ответ: T(t)=6+2t - линейная функция; Т(20) =46°С, Т(31) =68°С; t=47мин.

Многие процессы, происходящие в жизни можно изобразить в виде линейной функции. Зная свойства линейной функции можно управлять этими процессами.

Пример 1:

Тариф сотовой связи «Всё просто» Мегафон

z=0,85n, где z-стоимость разговора (в минутах)

n-число минут разговора.

  0,85руб - оплата разговора за минуту.

Пример 2:

Тариф платы за телефон:

p=18000+30t, где

р-оплата за телефон за один месяц

t-число минут разговора

180руб=18000коп-абонементская плата за телефон

30коп-оплата за одну минуту разговора.

Пример 3:

Учебник стоит 140руб

у (n)=140n, где

у - уплаченная сумма в рублях

n – число, экземпляров книги

y (6)=1406=840руб.

y (20)=14020=2800руб.

  Линейная функция с экономическим содержанием.

В экономике линейная функция выражает зависимость между:

1) ценой товара и спросом;

2) между нормой прибыли и прибавочной стоимостью;

3) между производством продукции и расходом материала и т. д.;

Простейшим примером в экономике линейной зависимости является выражение себестоимости продукции любого вида.

Расходы первой группы - стоимость сырья и заработная плата рабочих.

Расходы второй группы – заработная плата служащих, стоимость отопления здания, освещение и т. д.; т. е. расходы которые не зависят от объёма выпущенной продукции.

С=kx+b, где С - себестоимость при выпуске х единиц продукции, k - расходы первой группы, b - расходы второй группы.

При  х<0- задача теряет смысл.

При х=0 – производство остановлено.

Приx>0- постоянно увеличиваются расходы первой группы, которые могут повлечь увеличение расходов и второй группы за счёт расширения производства, ввода новых производственных объектов.

В экономических расчётах используют уравнения прямой, проходящей через две данные точки: (у-у1) : (у2-у1)=(х-х1) : (х2-х1) , где(x1; у1) координаты первой точки; (х2; у2) координаты второй точки, х1≠х2 , у1≠у2.

Рассмотрим пример расчёта стоимости перевозов по железной дороге.

Пример 1.

Перевозка лесоматериала по железной дороге от станции Ставрополь до станции Григорополисская (расстояние 150км) стоит 44руб., а до станции Прохладный (расстояние 505км) – 105 руб. Определить стоимость перевозки такого же объёма материала до станций Кисловодск (472 км) и Пятигорск (434 км).

Решение

На (105-44) руб. стоимость перевозки до станции Прохладной больше, чем до станции Григорополисская.

На (505-150) км расстояние до станции  Прохладная больше, чем до станции Григорополисская.

Пусть перевозка такого же груза на х км стоит у руб.

Это на (у-44) руб.- дороже, чем до станции Григорополисская.

На (х-150)км - дальше, чем до станции Григорополисская.

Разность стоимости перевоз пропорциональна разности расстояний, получим пропорцию: =

(у-44) ∙ (505-150)=(х-150) ∙(105-44)

  (у-44)∙ 355= (х-150) ∙ 61

  355∙ у-15620= 61∙ х –9150

  355 у = 61х – 9150+15620

  у = х +

у = 0,172 х + 18,2

С помощью найденной функции определяют стоимость перевозки до любой станции.

Стоимость перевозки до станции Пятигорск : у = 0,172 ∙ 434+18,2= 92, 85 руб.

Стоимость перевозки до станции Кисловодск : у = 0,172 ∙ 472 + 18,2=99,38 р.

Ответ: 92,85 руб.; 99,38руб.

Пример 2.

Себестоимость перевозки груза по шоссейной дороге выражается функцией

С=0,25х-1,6 , а по железной дороге - функцией С=0,2х+3,6 , где 10≤ х≤1000- расстояние в километрах, а С - транспортные расходы. Определите, какой вид транспорта выгоднее для перевозки одного и того же груза и начиная с какого расстояния?

Решение

При х=100км. Для автотранспорта стоимость перевозки составляет 23,4 руб.; а для железнодорожного 23,8руб. При х=300км стоимость перевозки автотранспортом составляет 73,4руб.; а железнодорожным - 63,8 руб.

Значит, на малых расстояниях выгоднее перевозить груз по шоссейной дороге, а на больших – по железной дороге.

Выясним, начиная с какого расстояния выгодно пользоваться железнодорожным транспортом. Для этого решим уравнение

0,25х-1,6=0,2х+3,8

х=108

Начиная со 108 км перевозки железнодорожным транспортом экономичнее (рентабельнее).

Эта задача сводится к нахождению абсциссы точки пересечения двух прямых.

Пример 3

Расходы при перевозке груза двумя видами железнодорожного транспорта вычисляются по формулам: у1=100+40х, у2=200+20х, где х - расстояние перевозок в сотнях километров, а у руб.- транспортный расходы по перевозке грузов первым и вторым видами транспорта. Найдите, на какие расстояния и, каким видам транспорта перевозки груза будут более экономичными.

Решение.

В одной координатной плоскости построим графики функции у1 и у2. рис.11

По этим графикам определяем, каким видом транспорта и на какие расстояния перевозки грузов будут экономичнее.

Так, если груз нужно перевезти на расстояние менее чем 5сотен км, его лучше перевозить первым видом транспорта, а если груз нужно перевезти на расстояние более 5 сотен км, то его экономичнее перевозить вторым видом транспорта.

Проценты и банковские расчёты.

Уже в далёкой древности было широко распространенно ростовщичество - дача денег в займы под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику,  и той, которой первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в древнем Вавилоне она составляла 20% и более! Это означало, что ремесленник, взявший у ростовщика 100денежных единиц  сроком на один год,  возвращал ему  по прошествии года, не менее 1200 этих же единиц. Известно, что в14-15 веках в западной Европе широко распространились банки - учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, ремесленникам, финансировали дальние путешествия и т. д. За пользование предоставленными деньгами они брали плату. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег. Тех, кто берёт в долг деньги в банке, называют заёмщиками, а ссуду, т. е. величину взятых у банка денег, называют кредитом.

Простые проценты.

S0 руб.- вкладчик положил на сберегательный счёт.

p%- от первоначальной суммы S0банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года( годовая процентная ставка).

S1- величина вклада к концу года.

S1= S0 ∙ (1+) руб.-сумманачисления процентов по истечении одного года.

Sn= S0∙ (1+) руб.-формула простых процентов или формула простого процентного роста. Это линейная функция S(n) = S0 + n –это уравнение вида у = kх + m, где вместо у стоит, вместо х – n, угловой коэффициент  k =  и  m = S0

Пример 1.

Вкладчик открыл в банке счёт и положил на него S0=150000 руб. сроком на 4 года под простые проценты по ставке 18%(5%) в год. Какой будет сумма S4, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращивания?

Решение.

S0=150000 руб.

n=4

p=18%  (5%)

S4= 150000 ∙(1+  ) = 258000 руб.

(S4= 150000 ∙(1+ ) = 180000 руб. )

(180000 – 150000 = 30000руб.) вырастит вклад за 4 года по ставке 5% в год

258000-150000= 108000(руб.) вырастет вклад за 4 года по ставке 18% в год

= 1,72 ( 1,2) коэффициент наращивания. Он показывает, что за 4 года первоначальный вклад увеличился в 1,72 раза.

Ответ: 258000руб.(180000руб.),108000руб.(30000руб.),1,72(1,2)

Пример 2.Вкладчик внёс на счёт в банке 700000руб на 2года. Банк  выплачивает простые проценты по ставке 5,5%в год. Какой будет сумма, S4, которую вкладчик получит при закрытии вклада? Определите, на сколько рублей увеличится вклад через 2 года?

  Решение:

S0=700000руб.

n=2

р = 5,5

S4= 700000 ∙(1+ ) = 777000руб.

777000 – 700000 =на 77000руб. вклад увеличится за 2 года

  Ответ: 777000руб. 77000руб.

  Заключение

Математик ищет закономерности в жизни человека и записывает их на языке математики. Приступая к данному исследованию,  были найдены и проанализированы задачи  на применение  линейной функции в жизни человека. Была показана связь с жизнью, вызывающая интерес к изучению математики.

Для этого:

- была изучена научная и научно – популярная литература, исследующая  связь линейной функции с жизнью;

- для исследования было введено понятие и свойства функции, в частности линейной функции;

- были подобранны задачи, из различных областей жизни человека: физики, экономики, в банковском деле, в торговле и т. д.;

- были решены подобные задачи;

- проведено сопоставление полученных в данном исследовании решений задач с решениями, представленными авторами научно – популярной литературы.

Работа будет  интересна преподавателям математики, учащимся, студентам, любителям математики.

Современная математика знает множество функций и у каждой свой неповторимый вид, своё применение. Они существуют независимо от сознания человека. Человек подметил их и стал изучать. Стал использовать их в жизни.

Основные направления продолжения работы: применение квадратичной,  степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических функций и т. д. в жизни человека.

  Приложения