УДК 539.3
ОБ ОДНОЙ МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НДС ЦИЛИНДРА
– д. ф.-м. н., профессор,
– к. т.н., – м. е.н.
При создании различных конструкций весьма актуальным является разработка точных и эффективных методов расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) создаваемой конструкций с целью снижения материалоемкости, веса конструкции, повышение прочности и жесткости и других эксплуатационных параметров. Следовательно, ниже рассмотрена методика решения задачи НДС составного цилиндра с трансверсально-изотропными, изотропными слоями.
Рассматривается осесимметричная задача о напряженно-деформированном состоянии составного цилиндра, подверженного действию внешних нагрузок, распределенных по боковой поверхности наружного цилиндра. Составная конструкция конечной длины состоит из комбинации трансверсально-изотропных, изотропных, а в некоторых случаях и ортотропных материалов.
Граничные условия для составной конструкции из цилиндров, при заданных нагрузках на боковых поверхностях определяются в виде
где верхний индекс 1 указывает на принадлежность переменных внутреннему цилиндру, а индекс 2 указывает на принадлежность переменных внешнему цилиндру, L – длина цилиндров, r=r1 внутренний радиус первого полого цилиндра, r=r2 радиус контактной поверхности двух цилиндров и r=r3 внешний радиус второго полого цилиндра.
Решения задачи для составной конструкции можно провести следующим образом. Сначала решается задача для первого внутреннего цилиндра с условиями, где помимо прочего рассматривается условие воздействия второго внешнего цилиндра. Далее рассматривается задача для второго полого цилиндра с граничными условиями, где помимо прочего рассматривается условие воздействия внутреннего цилиндра.
Решив уравнение осесимметричной деформации для внешнего полого трансверсально-изотропного тела, и объединяя с соответствующими уравнениями внутреннего цилиндра, в общем случае получаем алгебраическую систему из восьми уравнений с восемью неизвестными. Решив данную систему уравнений, получаем все неизвестные для составной конструкции из трансверсально-изотропных тел при заданных нагрузках на боковой поверхности.
Разработанная методика применима только для случая с однородными граничнымиусловиями на торцах. В противном случае при разнородных материалах цилиндров составной конструкции определить собственные числа для систем дифференциальных уравнений функции напряжении на поверхности контакта будет очень сложно.
Решение задачи разбито на два этапа:
– решение осесимметричной задачи отдельно для изотропного и трансверсально-изотропного цилиндрических тел;
– решение задачи для составной конструкции с однородными граничными условиями на торцах.
Одной из основных трудностей при построении решения общей задачи для составных трансверсально-изотропных цилиндров конечной длины является обусловленное различием механических характеристик материалов составных элементов конструкции. Следствием этого обстоятельства являются трудности, связанные с точным определением собственных чисел – корней характеристического уравнения. Однако при решении задач с однородными условиями на торцах собственные числа трансверсально-изотропных цилиндров не зависят от свойств материалов составных элементов, а определяются лишь геометрическими параметрами составного цилиндра, что заметно упрощает построение решения поставленной задачи.
Так как геометрические размеры составных элементов приняты одинаковыми, то одно и тоже семейство собственных чисел используется для каждой составной части конструкции. Поэтому можно сразу решать совместную систему уравнений граничных условий на боковой поверхности.
При решении задачи с однородными граничными условиями на торцах собственные числа определяются из формулы 
, где h – высота цилиндра, n - номер гармоники.
Искомые функции напряжения каждого полого цилиндра принимают вид:
Таким образом, в данном случае для каждого цилиндра необходимо использовать вышеприведенные функции напряжения со своими произвольными постоянными. Для их определения используются граничные условия на боковых поверхностях r= r1 и r=r3, а также на контактной поверхности r = r2. На контактной поверхности цилиндров рассматривается жесткое крепление.
Функции напряжения, подставленные в граничные условия на свободных торцах, позволяют исследовать случаи с различными значениями собственных чисел. В полученных уравнениях для отрицательных значений собственных чисел λ нетривиальные решения не существуют и поэтому постоянные С7 = С8 = С`7 = С`8 ≡ 0. Положительные значения собственных чисел λ оказываются равными 
. Этим собственным значениям соответствуют собственные функции 
, определяемые с точностью до постоянного множителя. Однородные на торцах граничные условия также позволяют получить
.
Функции напряжения для рассмотренных собственных чисел принимают вид
После подстановки функций напряжений в граничные условия на радиальные поверхности внутреннего первого цилиндра и внешнего второго цилиндра для каждого λn находятся следующие уравнения для каждого полого цилиндра
где 
Добавляя к этим уравнениям условия неразрывности на контактной поверхности, получаем восемь уравнений относительно восьми неизвестных. После решения полученной системы алгебраических уравнений, для каждого λn определяем коэффициенты разложения.
На основе разработанной методики решены задачи. Полученные числовые результаты анализированы, обсуждены и представлены в виде графиков.
Түйін
Көп қабаттан тұратын құрама цилиндрдің кернеулік-деформациялық күйін анықтау есебін шешу әдісі ұсынылған.
Summary
Proposed a method of solving the problem of stress-strain state of a composite cylinder.
Литература
Определение напряженного состояния в трансверсально-изотропных цилиндрических телах – Научный вестник НГТУ, 2001, № 2. с.95-104. Об одном решении осесимметричной задачи теории упругости для трансверсально-изотропного материала. – Прикладная механика и теоритическая физика, 2009, т. 50. №6. С. 81-89. , Расчет на прочность трубы кругло-поперечного сечения из ортотропного материала. – Конструкции из композиционного материала, 2006, №3.с. 23-33. Можаревский В. В. НДС слоистой трубы из ортотропных материалов. – Материалы технологии конструирования. 2004, №9. С.16-21. , Расчет двухслойного цилиндра, работающего в условиях термосилового цилиндрического напряжения. –Вестник машиностроения, 2006,№1,с. 15-20. НДС трансверсально-изотропного полого цилиндра при внутреннем динамическом давлении.– Прикладная механика, 2003, в.39,№11.с. 87-92.