ОСР-1.  «Вычисление  производных  элементарных функций». 

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найдите производные функций: а) y = ex – x7 ,б) у=3ех+cos2x, в) у = ех – sinx,

г) у= – ln2x  ,д) , е) , ж) 

Решение: а) б) в) = ех – cosx;  г)  ,

д)е)

ж)

Ответ: а)б) в) = ех –cosx; г) ,

д)е)ж)

Пример 2. Вычислите значение производной функции:

а)  у=  в точке  ,  б) у=ех sinx + x2  в точке ,

в)  у = cos2x + 4x  в точке ,г) в точке  . 

Решение: а)

 

б)   

в)  

г)  Ответ: а)10,5; б)1;в)4; г)2.

Пример 3. Найдите производные функций: а) б)

в) г) д)
Решение:  а) у ′ (x) = (x 2 + sin x) ′ = (x 2) ′ + (sin x) ′ = …x + cos x;
б) у ′ (x) = (x 3 · cos x) ′ = (x 3) ′ · cos x + x 3 · (cos x) ′ = …x 2 · cos x + x 3· (− sin x) =

= x 2 · (3cos x − x · sin x),

в) у ′ (x) = ((x 2 + 7x − 7) · e x ) ′ = (x 2 + 7x − 7) ′ · e x + (x 2 + 7x − 7) · (e x ) ′ = (2x + 7) · e x +

+(x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x−7) = (x 2 + …x) · e x = x(x + …) · e x.

г)
д)

По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:


Ответ: а) у ′ (x) = 2x + cos x;  б) у ′ (x) = x 2 · (3cos x − x · sin x), в) у ′ (x) =  x(x + 9) · e x,

г) д)

Пример 4. Найти производные функций: f(x) = e 2x + 3; g(x) = sin (x 2 + ln x).
Решение: Заметим, что если в функции f(x) вместо выражения 2x + 3 будет просто x, то получится элементарная функция f(x) = e x. Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Ищем производную сложной функции по формуле:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

f ′ (x) = f ′ (t) · t ′ = (e t ) ′ · t ′ = e t · t ′. Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:

f ′ (x) = e t · t ′ = e 2x + 3 · (2x + 3) ′ = e 2x + 3 · 2 = … · e 2x + 3

Теперь разберемся с функцией g(x). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t. Имеем:

g ′ (x) = g ′ (t) · t ′ = (sin t) ′ · t ′ = cos t · t ′. Обратная замена: t = x 2 + ln x. Тогда:

g ′ (x) = cos (x 2 + ln x) · (x 2 + ln x) ′ = cos (x 2 + ln x) · (…x + 1/x).

Ответ:  f ′ (x) = 2 · e 2x + 3;  g ′ (x) = (2x + 1/x) · cos (x 2 + ln x).
Пример 5. Найти производную функции :

а)б)
Решение: а)

 

б)
Ответ: а) б)

2)Решить задание  ( по примерам):

Найдите производные функций: а) y = 2ex –3x7 ,б) у=5ех+cos3x, в) у = ех – cosx,

г) у= – ln4х, д) , е) , ж) 

Вычислите значение производной функции:

а)  у=  в точке  ,  б) у=2ех sinx +3 x2  в точке ,

в)  у = cos2x + 8x  в точке ,г) в точке  . 

Найдите производные функций: а) б)

в) г) д)

Найти производные функций: f(x) = e 4x + 3; g(x) = sin (2x 2 + ln x). Найти производные функций : а)б)

3)Решить задание:

Найдите производную функции  y = e - x –2x7 , у= 4х3+ е - х.  Найдите производную функции  у = x2 + sinx  в точке  х0 =π. Найдите производную функции  у =  sinх ex – 9x3 в точке xo=0.  Найдите значение производной функции  у = 5cos x – 7x  в точке  хо = 0 .  Вычислите значение производной функции  y = ln(2x+11)+ 5x  в точке  хо= –5.  Найдите производную функции: а)  б)

ОСР-2. «Составление  уравнения касательной  к графику  функции».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х₀:  а) y(x) = xі, x₀ = 1, б) y(x) = ln x, x₀ = 1, в) y(x) = 3xІ 4x, x₀ = 2,

г) y(x) = х3 + 7xІ 5x+3, x₀ = 3, д) y(x) = ех, x₀ = ln 7, e) y(x) = 7sinx, x₀ = 0,ж) y(x) = е3х, x₀ = ln 4.

Решение: угловой коэффициент k равен производной от функции в точке, т. е. k = y  ′  (x0) ,

найдем производные и вычислим их в точке x0

a)   б) в)

г)

д) е ln 7= …,е) 7cos x, 7 cos 0 = 7 1 = …, 

ж) е3 ln 4  = 343 = 364 =  …

Ответ: a)3, б)1, в)8,г) 64,д) 7,е)7,ж) 192.

Пример 2. а) Найти угловой коэффициент k, если  б = arctg 6, б = - arctg 8.

б) Найти б, если y(x) = х3, x₀ = 2.

Решение: а) k  = tgб = tg k  = tgб = tg k  = tgб = tg

k  = tgб = tg

б)

Ответ: а)1, ,6,- 8,  б) arctg 4.

Пример 3. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.
Решение: Уравнение касательной: y = f ′ (x0) · (x − x0) + f(x0). Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f  ′ (x0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = …;
Теперь найдем производную: f ′ (x) = (x3) ′  = 3x2;
Подставляем в производную x0 = 2: f ′ (x0) = f ′ (2) = 3 · 22 = 34 = …;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Ответ: y = 12x − 16.
Пример 4. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x0 = р/2.

Решение:  f (x0) = f (р/2) = 2sin (р/2) + 5 = 2 + 5 = …; f ′ (x) = (2sin x + 5) ′  = 2cos x;
f ′ (x0) = f ′ (р/2) = 2cos (р/2) = 0;

Уравнение касательной:  y = 0 · (x − р/2) + 7 ⇒ y = ...

Ответ: y = 7.

Пример 5.  Составьте уравнение касательной к графику функции

в точке M(3; – 2).

Решение: Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как  

1. a = 3 – абсцисса точки касания.2. f(3) = – 2. 3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 9 4 = …
y = – 2 + 5(x – 3), y = …x – 17 – уравнение касательной.

Ответ: y = 5x – 17.

Пример 6. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение: Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) ­ 6 (рис. 2).

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = – a2 – 4a + 2.
3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4.
4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a2 + 6a + 8 = 0 , D = 62 41 8 = 36 32  = …, 

а1= (6 2) : 2 = 8 : 2  =  …,  а2 = (6 2) : 2 = 4 : 2 = …,

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Ответ: y = 4x + 18 или y = 6.
Пример 7. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

Решение: 1. a – абсцисса точки касания. 2. f(a) = a3 – 3a2 + 3.3. f '(x) = 3x2 – 6x, f '(a) = 3a2 – 6a.

Но, с другой стороны, f '(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить

уравнение 3a2 – 6a = 9. 3a2 – 6a 9 = 0,

D = (6)2 43 () = 36 108  = …,  а1= (6 12) : 6 = 18 : 6  =  …, 

а2 = (6 12) : 6 = 6 :  6 = …,

Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1сл.) a = – 1;  f(– 1) = – 1– 3 + 3 = …;  f '(– 1) = 3 + 6 = …;

y = – 1 + 9(x + 1);  y = 9x + 8 – уравнение касательной;

2сл.) a = 3; f(3) = 27–27 + 3 = …;  f '(3) = 27 – 18 = …;
y = 3 + 9(x – 3);  y = 9x – 24 – уравнение касательной.

Ответ: y = 9x + 8  и y = 9x – 24.

Пример 8. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).

Решение:  Из условия f '(a) = tg 45°, найдем a: a – 3 = 1 ,a = 3 + 1 = ...

1. a = 4 – абсцисса точки касания.        
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = ...
3. f '(4) = 4 – 3 = ...
4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной.

Ответ: y =  x – 7.

Пример 9. На параболе у = х2 взяты две точки с абсциссами 1 и 3. Через эти точки проведена прямая. В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

Решение: у = х2 , (1;1), (3;9).  Найдем уравнение прямой .

4х – 4 = у – 1.  у = 4х – 3.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

- угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х0.

2х0 = 4.  х0 = ...  , 

Ответ: в точке (2;4) касательная параллельна заданной прямой.

Пример 10. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику

функции y = x2 + bx + c?

Решение: Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x2 + bx + c;

p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x2 + bx + c.

Тогда уравнение касательной y = x примет вид  y = (2t + b)x + c – t2, а уравнение

касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p2.  Составим и решим систему уравнений:

  ;

2t = 1,5;  t  = 0,75;

p = – t = …,

c  = = = …,

b = 1 – 2t = 1 – 2 0,75 = 1– 1,5 = …

Ответ: b = – 0,5; c = 0,562 5.

2)Решить задание  ( по примерам):

Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х₀:  а) y(x) = x4, x₀ = 1, б) y(x) = ln x, x₀ = 2, в) y(x) = 3xІ - 4x, x₀ = 4,

г) y(x) = х3 + 7xІ - 5x+3, x₀ =5, д) y(x) = ех, x₀ = ln 8, e) y(x) = 9sinx, x₀ = 0,ж) y(x) = е3х, x₀ = ln 6.

а) Найти угловой коэффициент k, если  б = arctg 9, б = - arctg 11.

б) Найти б, если y(x) = х3, x₀ = 4.

Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 1. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 4sin x + 5 в точке x0 = р/2. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 1). Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 9). Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2 + 3, параллельных

прямой y = 24x + 1.

Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x2 – 5x + 1, проходящей
под углом 45° к прямой y = 0 . На параболе у=х2 взяты две точки с абсциссами 1 и 2. Через эти точки проведена прямая.
В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой? При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику
функции y = x2 + 2bx + c?

3)Решить задание:

Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)? Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16). На кривой y = x2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна
прямой y – 3x + 1 = 0. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x3 – 4x2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx3 – 2x2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)? Найти угол между касательными к графику функции , проведенными в точках с абсциссами 1 и 2. Является ли прямая у = х – 1 касательной к кривой у = х3 – 2х + 1? Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . К графику функции у = 3(х + 2) проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х0  =  – 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 – 4x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 4) и абсцисса точки касания положительна. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 + 3x + 5, если эта касательная проходит через точку (0; 1) и абсцисса точки касания отрицательна. Найдите уравнение параболы f(x) = ax2 + bx + 1 касающейся прямой у = 7х + 2
в точке М (1; 5). К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у = 4х – 5. Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции. Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой. Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой Составить уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой . Составить уравнение касательной к графику функции > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна .