Методическое пособие на тему «Системы счисления» (стр. 1 )

Методическое пособие

на тему «Системы счисления»

по дисциплине «Информатика»

Оглавление

Введение        3

1 Определение систем счисления        4

2 Непозиционные системы счисления        4

3 Позиционные системы счисления        5

4 Системы счисления, используемые в компьютерах        8

5 Перевод чисел из одной системы счисления в другую        10

5.1 Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другую        11

5.2 Перевод правильной десятичной дроби в другую систему счисления        11

5.3 Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно        12

5.4 Арифметические операции в позиционных системах счисления        13

6 Вычисления на калькуляторе        19

Контрольная работа                21

Литература                26

Введение

Тема «Системы счисления» являются одной из разделов изучения дисциплины «Информатика».

Информатика необходима при использовании современных ЭВМ, средств передачи и обработки информации, автоматизированных систем управления и проектирования данных. Знание основ данной дисциплины абсолютно необходимо для современного специалиста в области информационных технологий и вычислительной техники.

В методическом пособии представлены основные приемы работы с системами счисления. Кроме того, методическое пособие содержит упражнения для самостоятельного выполнения и варианты контрольной работы.

Материалы данного пособия могут быть использованы как для аудиторных занятий, так и для самостоятельного выполнения учащимися практической работы.

.

1 Определение систем счисления

Совокупность приемов наименования и записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр) называется системой счисления. В любой системе счисления числа записываются как последовательность знаков. Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с использованием определенного алфавита и по определенным правилам, называется  кодом. Применительно к счислению это код числа.

Системы счисления делятся на виды: неоднородные и однородные. Примером неоднородной системы счисления служит система отсчета времени:

60 сек=1 мин        60 мин=1 час        24 часа=1 сутки        30 суток=1 месяц 12 месяцев=1 год        100 лет=1 век        и т. д.

Однородные системы счисления делятся непозиционные  и  позиционные.

2 Непозиционные системы счисления

Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

2.1 Римская система счисления

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи,  Мille — тысяча).

Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 38 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+10+5+1+1+1 (три десятка, пяток, три единицы).

Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Примеры: IX — обозначает 9, XI — обозначает 11.

Десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1

Десятичное число 99 имеет вот такое представление:

XCIХ=-10+100-1+10.

Для записи числа 444 в римской системе:

444 = 400 + 40 + 4 = СD + XL + IV = CDXLIV

Записать число 2986 в римской системе счисления.

2986 = 2000 + 900 + 80 + 6 = MM + CM + LXXX + VI = MMCMLXXXVI.

Записать римское число CMLXIII в десятичной системе.

CMLXIII=(1000-100) + (50+10) + 3 = 963

Задание для самостоятельной работы:

Запишите числа в римской системе:

2015

448

1963

Запишите числа в десятичной системе:

MCDXXIII

LXXIX

MMCXLI

2.2 Алфавитные системы счисления

Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1. Существует постоянная  потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

3 Позиционные системы счисления

Система счисления называется позиционной, если значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т. д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т. д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые несколько целых чисел

В десятичной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,19,20,21,…

в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

В шестнадцатеричной системе: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B,C, D,E, F, 10,11,12,…,1А,1В,..1А,20,21,…,2А,…

Из курса математики вам известно, что цифры десятичной записи числа – это просто коэффициенты его представления в виде суммы степеней числа основания системы счисления:

25076 = 2*10000 + 5*1000 + 0*100 + 7*10 + 6*1 = 2*104 +5*103 + 0*102 +7*101 +6*100

При переводе чисел из десятичной системы счисления в римскую, мы воспользовались этим правилом (444 = 400 + 40 + 4;

2986 = 2000 + 900 + 80 + 6).

При записи чисел значение каждой цифры зависит от ее положения. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе разрядностью. На самом деле числа можно записывать как сумму степеней не только числа 10, но и любого другого натурального числа, большего 1.

Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.

Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее 2.  Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.).

В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Десятичная система характеризуется тем,  что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.

В системе счисления с основанием q  (q-ичная  система  счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q,  иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего  разряда. Для записи чисел в q-ичной системе счисления требуется q различных цифр (0,1,...,q-1).

В позиционной системе счисления любое  вещественное  число  в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:

Аq= ± (an-1qn-1+an-2qn-2+...+a0q0+a-1q-1+a-2q-2+...+a-mq-m)

или

Аq = ± aiqi

Здесь А — само число,

q — основание системы счисления,

ai —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,

n — число целых разрядов числа,

m — число дробных разрядов числа.

Свернутой формой записи числа называется запись в виде

A=an-1an-2...a1a0,a-1...a-m

Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

Например:

Десятичное число А10=4718,63 в развернутой форме запишется так:

А10=4*103+7*102+1*101+8*100+6*10-1+3*10-2

Примеры:

Получить развернутую форму числа 7512410.

Решение:

а4 = 7, а3 = 5, а2 =1 ,а1 =2, а0 =4, q=10

75 12410 = 7*104 + 5*103 + 1*102 + 2*101 + 4*100.

Получить развернутую форму числа 1123.

Решение:

1123 = 1*32 + 1*31 +2*30

Получить развернутую форму числа 176,218.

Решение:

А8=176, 218=1*82+7*81+6*80+2*8-1+1*8-2

Задание для самостоятельной работы:

1. Запишите в развернутом виде числа:

А8=143511,62

А2=100111

А10=143,511

А16=1А3,5С1

2. Запишите в свернутой форме число:

9*101+1*100+5*10-1+3*10-2