правительство Российской Федерации
Санкт – Петербургский государственный университет
МАТЕМАТИКО-МЕХАНИЧЕСКИЙ факультет
Принята на заседании кафедры высшей алгебры и теории чисел Зав. кафедрой, профессор | УТВЕРЖДАЮ Декан факультета, профессор |
ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
" Теория Галуа "
Специальность – 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»
Санкт – Петербург
2012 г.
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ Раздел
Основная задача курса — получение аспирантами практических знаний и навыков, связанных с современными разделами и задачами теории Галуа, а также с со смежными областями.
Слушатели курса должны иметь представление о возможностях применения разделов современной теории Галуа в алгебре, алгебраической геометрии, алгебраической теории чисел, теории категорий и дифференциальной алгебре.
Построение курса подразумевает постоянное акцентирование внимания аспирантов на общематематическом и историческом контексте формирования и использования изучаемых математических понятий и методов.
2. ОБЪЕМ КУРСА
Продолжительность обучения | 1 год обучения |
Общая трудоемкость | 144 часа |
из них: лекции | 22 часа |
самостоятельная работа | 122 часа |
Изучение дисциплины, формы контроля: | |
1 год: | лекции – 22 ч., самостоятельная работа – 122 ч., зачёт |
экзамен
экзамен
3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Раздел 1. Теория Галуа бесконечных расширений.
Классическая теория Галуа. Группы автоморфизмов бесконечных расширений и топология Крулля. Основная теорема теории Галуа для бесконечных расширений Галуа.
Раздел 2. Когомологии Галуа.
Определение (ко)гомологий групп; стандартные резольвенты. Случай циклической группы. Ограничение, коограничение, инфляция и дефляция. Спектральная последовательность Хохшильда-Серра. Чашечное произведение. Теорема Тэйта. Когомологии Галуа: определение. Теорема Шпайзера и теоремы типа Гильберта 90. Группа Брауэра: эквивалентность двух определений.
Раздел 3. Категорная теория Галуа.
Теория категорий. «Обычная» теория Галуа в форме Гротендика. Функтор слоя. Таннакиевы категории.
Раздел 4. Дифференциальная алгебра и теория Галуа.
Основные определения и типы расширений дифференциальных полей. Теорема Лиувилля. Прямая и обратные задачи дифференциальной теории Галуа. Применение теории Таннаки.
Раздел 5. Фундаментальные группы схем.
Накрытия топологических многообразий. Этальные морфизмы и накрытия. Этальная фундаментальная группа. Торсоры и расслоения. Теорема существования Римана. Связь между алгебраической и топологической фундаментальной группой комплексного многообразия. Анабелева геометрия.
Примерный перечень вопросов к зачету по всему курсу
Основная теорема теории Галуа для конечных расширений. Группы автоморфизмов бесконечных расширений и топология Крулля. Основная теорема теории Галуа для бесконечных расширений Галуа. (Ко)гомологий групповых модулей; стандартные резольвенты. Когомологии модулей над циклическими группами; индекс Эрбрана. Функторы «замены группы» и их свойства. Спектральная последовательность Хохшильда-Серра. Чашечное произведение; свойства. Теорема Тэйта. Непрерывные когомологии проконечных групп. Теорема Шпайзера и теорема Гильберта 90. Теорема Гильберта 90 для общей линейной группы. Группа Брауэра: эквивалентность двух определений. Основные утверждения теории полей классов. Теория Галуа в форме Гротендика. Функтор слоя и его автоморфизмы. Двойственность Таннаки-Крейна. Таннакиевы категории. Дифференциальные поля и их расширения. Теорема Лиувилля. Прямая и обратная задача дифференциальной теории Галуа. Таннакиево соответствие для дифференциальной алгебры. Связь между накрытиями топологических многообразий и фундаментальной группой. Этальные морфизмы и накрытия схем. Этальная фундаментальная группа. Торсоры и расслоения; связь с H1. Теорема существования Римана (формулировка и элементы доказательства). Связь между алгебраической и топологической фундаментальной группой комплексного многообразия. Основные задачи анабелевой геометрии.
4. ЛИТЕРАТУРА
Обязательная литература:
1. Алгебраическая теория чисел (под редакцией Д. Касселса и А. Фрёлиха) М. Мир, 1969.
2. Чеботарев, Галуа : - 2-е изд., стереотип. - М. : КомКнига, 2006. - 154 с.
3. Артин, Эмиль. Теория Галуа : монография / Э. Артин. - М. : МЦНМО, 2004. - 66 с.
Дополнительная литература:
1. Szamuely T. Galois groups and fundamental groups. – Cambridge university press, 2009. – Т. 117.
2. . Задачи и погружения в теории Галуа : научное издание / , , . - М., Наука, 1990. - 269 с.
СОСТАВИТЕЛЬ:
, д. ф-м. н., профессор кафедры высшей алгебры и теории чисел математико-механического факультета.
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
