8 класс, воспоминания о знаниях по теории чисел.
1. Натуральные числа m и n таковы, что число m+n+1 — простое и делит 2(m2+n2)–1. Докажите, что m = n.
2. Какова максимальная длина конечной арифметической прогрессии с разностью 6 и состоящей из простых чисел?
3. При каких целых n число an =n2+ 3n+ 1 делится на 55?
4. Существует ли натуральное число, среди натуральных делителей которого точных квадратов ровно в 2015 раз больше, чем точных кубов?
5. Трехзначное число 625 обладает своеобразным свойством самовоспроизводимости, как то 6252= 390625. Сколько четырехзначных чисел удовлетворяют уравнению x2≡ x(mod 10000)?
6. Докажите, что при любом k существует ровно 4 набора из k цифр — 00...00, 00...01 и еще два, оканчивающиеся пятеркой и шестеркой,— обладающие таким свойством: если натуральное число оканчивается одним из этих наборов цифр, то его квадрат оканчивается тем же набором цифр.
7. Найдите все натуральные n, для которых число n4+4 – простое.
8. Докажите, что при нечетных n число 2n!-1 делится на n.
8а. Найдите такие целые числа a, что a10+1 делится на 10.
9. Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со знаменателем n.
10 .Докажите, что число 
не может быть целым при n>1.
8 класс, продолжение всякого тч
11. Костя задумал натуральное число и нашел его остатки от деления на 3, на 6 и на 9. Сумма остатков оказалась равна 15. Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.
12. Можно ли расставить на доске 17×101 натуральные числа так, чтобы сумма чисел в любом прямоугольнике 1Ч2 делилась либо на 17, либо на 101?
13. Докажите, что число m(m+1) не является степенью целого числа ни при каком натуральном m.
14. Натуральные a, b,c, d удовлетворяют условию ab=cd. Может ли число a+b+c+d быть простым?
15. Назовем натуральное число хорошим, если сумма обратных величин всех его натуральных делителей – целая. Докажите, что если m – хорошее число, а p > m – простое, то число pm не является хорошим.
16. Назовем натуральное число вредным, если оно не равно произведению цифр никакого другого числа. Докажите, что найдется 100 последовательных вредных чисел.
17. Обозначим 
количество простых чисел, не превосходящих x. Конечно или бесконечно множество натуральных n, для которых n делится на 
?
18. Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Докажите, что число карточек, на которых написано произвольное натуральное число n равно 
.
19. Доказать а) 
, 
- число делителей натурального числа n; б) 
, 
- сумма делителей натурального числа n.
20. Докажите неравенство 
.
8 класс, две слипшиеся серии по уравнениям в целых
21. При всяком ли натуральном n, большем 2013, из дробей 
можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами?
22. Для натурального n>3 будем обозначать через n? (n-вопросиал) произведение всех простых чисел, меньших n. Решите уравнение n? = 2n+16.
23. Перенумеруем делители данного натурального числа n в порядке убывания: d0, d1, ..., начав с d0 = n. Назовем число n восхитительным, если d1 = d2+d5. Сколько существует восхитительных чисел, меньших 2016?
24. Решите уравнение в целых числах x2-7y=10
25. Натуральные числа х и у таковы, что 3х2 + х = 4у2 + у. Докажите что х–у – квадрат натурального числа.
26. Решите в целых числах а) x2+y2=x+y+2; б) x2 + y2 + z2 = 2xyz; в) x2-5y2=1.
27. Произведение нескольких разных простых чисел делится на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может быть равно это произведение?
28. Докажите, что уравнение 1/x-1/y=1/n имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда n - простое число.
29. Решите в целых числах а) 15x2–7y2=9; б) 15x3+13y3=10; в) 5x3+11y3+13z3=0
30. a – фиксированное натуральное число. Доказать, что уравнение x!=y2+a2 имеет лишь конечное число решений (x, y).
Решите 31-36 в натуральных числах
31. 2· k! = m! – 2·n! 32. nk+1– n!= 5(30k+11) 33. n3 –n = n!
34. n!+5n+13= k2 35. (y+1)x–1=y! 36. 1!+2!+3!+…+(x+1)! = yz+1
37. Решите в целых числах 3(x2+xy+y2 )=x+8y
38. Решить в простых числах уравнение xy+1=z
39. Найдите все пары натуральных чисел (а, b), для которых выполняется равенство НОК(а, b) – НОД(а, b) = ab/5.
40. Представление пифагоровых троек. Пусть (x, y, z) = примитивная пифагорова тройка, причем x кратно 4. Рассмотрите уравнение x2 = z2–y2 и докажите, что существуют такие натуральные числа m и n, что z = m2+n2, y = m2–n2, x=2mn.
8 класс, базовые задачи на вектора
(много об одном и том же)
1. Докажите, что если М – середина стороны BC треугольника ABC, то 
+
.
2. Докажите, что если K – середина AB, М – середина стороны CD, то 
+
.
3. (общий случай) Докажите, что если М делит сторону BC треугольника ABC в отношении n:m, считая от вершины B (то есть BM:MC= n:m), то 
+
.
4. (совсем общий случай)Докажите, что если точка K делит отрезок AB в отношении n:m, считая от точки A, а точка M делит отрезок CD в отношении n:m, считая от точки C, то 
+
.
5. (что такое прямая) Докажите, что точка X лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда 
для некоторого числа t и любой точки O. При каких t точка X лежит на отрезке AB?
6. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Известно, что 
, 
,. Найдите векторы
,где M — середина стороны EF.
7. а) Пусть М – точка пересечения медиан треугольника АВС. О – некоторая произвольная точка плоскости. Докажите, что 
. б) Пусть М и М1 – точки пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1 соответственно. Докажите, что 
.
8. Докажите, что точка G является точкой пересечения медиан (центроидом, центром тяжести) треугольника ABC тогда и только тогда, когда 
.
9. а) Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD, O — произвольная точка. Докажите, что 
. б) Даны два параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, у которых O и O1 — точки пересечения диагоналей. Докажите что 
10. Пусть О — центр правильного многоугольника A1A2A3...An, X – произвольная точка. Докажите, что а) 
8 класс, применение векторов
11. (запомните это для геометрии масс) Внутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что 
.
12. (и это запомните) Докажите, что точка I является точкой пересечения биссектрис (центром вписанной окружности) треугольника ABC со сторонами AB=c, BC=a, AC=b тогда и только тогда, когда 
.
13. Точки M, K, N и L – середины сторон AB, BC, CD и DE пятиугольника ABCDE (не обязательно выпуклого), P и Q – середины отрезков MN и KL. Докажите, что отрезок PQ в четыре раза меньше стороны AE и параллелен ей.
14. Пусть ABCD и AB1C1D1 – два параллелограмма с общей вершиной. Докажите, что один из векторов 
и 
коллинеарен сумме двух других.
15. На плоскости дано несколько точек, некоторые из них соединены векторами. В каждую точку входит столько же векторов, сколько выходит из нее. Докажите, что сумма всех векторов равна нулю.
16. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные треугольники A'BC, B'CA, C'AB. Докажите, что в треугольниках ABC и A'B'C' точки пересечения медиан совпадают.
17.В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона BC параллельна диагонали AD, CD || BE, DE || AC и AE || BD. Докажите, что AB || CE.
18.В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины P, Q сторон AB, CD и середины S, T сторон BC, DE соединены отрезками PQ и ST. Пусть M и N – середины отрезков PQ и ST. Найдите длину отрезка MN.
19.Середины противолежащих сторон шестиугольника соединены отрезками. Оказалось, что точки попарного пересечения этих отрезков образуют равносторонний треугольник. Докажите, что проведенные отрезки равны.
20. Дан четырёхугольник ABCD. A', B', C' и D' – середины сторон BC, CD, DA и AB соответственно. Известно, что AA' = CC' и BB' = DD'. Верно ли, что ABCD – параллелограмм?
8 класс - геометрия масс
1. (поупражняемся) Пусть M – середина стороны BС треугольника ABC. На медиане AM взяли точку F так, что AF:FM=4:3. В каком отношении прямая BF делит сторону AC?
2. (Гирьки можно складывать одну на другую) В треугольнике ABC точка F делит основание BC в отношении 3:1, считая от вершины B. Точки M и P отсекают от боковых сторон AB и AC по одной шестой, считая соответственно от вершины A и от вершины C. В каком отношении делится каждый из отрезков MP и AF точкой их пересечения?
3. (Теорема Вариньона) В произвольном четырехугольнике ( в том числе невыпуклом) отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в точке О. Докажите, что О лежит на отрезке, соединяющем середины диагоналей четырехугольника и делит его пополам.
4. В произвольном четырехугольнике каждая вершина соединена с точкой пересечения медиан треугольника, образованного остальными тремя вершинами. Докажите, что все такие отрезки проходят через одну точку.
5. (стерео) В тетраэдре каждая вершина соединена отрезком с точкой пересечения медиан противоположной стороны. Середина каждого ребра соединена с серединой противоположного ребра. Докажите, что все отрезки имеют общую точку.
6. (Надо считать) На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты такие точки M и P, что AM:MC = 3:1 и BP:PC = 1:2. Отрезки AP и BM пересекаются в точке Q. Известно, что площадь треугольника BPQ равна 1. Найдите S ABC.
7. (Теоретическая) Докажите, что для каждой точки G как вне, так и внутри треугольника можно найти такие массы, что при их размещении в вершины данного треугольника ABC точка G станет центром масс.
8. (Теорема Чевы) На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 соответственно. Докажите, что прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда 
.
9. Пусть A1, B1, C1, D1, E1, F1 – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного шестиугольника ABCDEF. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников A1C1E1 и B1D1F1 совпадают
10. В треугольнике ABC длины сторон AB = c, BC = a, CA = b. В точки A, B и C поставлены массы a, b и c соответственно. Куда попадет центр масс?
11. (попроще) На сторонах BC и CD ромба ABCD взяли точки P и Q соответственно так, что BP=CQ. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника APQ лежит на диагонали BD ромба.
12. (Точка Жергонна) Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вписанной окружностью пересекаются в одной точке.
13. (Точка Нагеля) Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вневписанными окружностями пересекаются в одной точке.
14. Около окружности описан четырехугольник ABCD, касающийся окружности в точках M, N, P, Q. Длины отрезков касательных, проведенных из точек A, B, C, D к окружности, равны соответственно a, b, c, d. В каком отношении каждый из отрезков MP и NQ делится точкой их пересечения?
15. (Теорема Менелая). а) На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки C1 и A1, а на продолжении стороны AC – точка B1. Докажите, что точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда 
.
16. (Опять считать) В треугольнике единичной площади ABC точки A1 и A2 делят сторону ВС на три равные части, а B1C:AB1=1:2. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного прямыми AA1, AA2, BB1, BC.
17 (как поставить гирьки одну на другую) На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K и L так, что 
. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника AKL лежит на диагонали BD.
18. Через точку Р, расположенную внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Они пересекают стороны AB, BC, CD, AD в точках K, L, M,N. Q – точка пересечения средних линий четырехугольника KLMN, а S – центр параллелограмма. Докажите, что Q – середина отрезка PS.
19. Даны треугольник XYZ и выпуклый шестиугольник ABCDEF. Стороны AB, CD и EF параллельны и равны соответственно сторонам XY, YZ и ZX. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в серединах сторон BC, DE и FA не меньше площади треугольника XYZ.
20. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Через середину каждой стороны проведена прямая, перпендикулярная противоположной стороне. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.
8 класс, направленные углы – задачи без теории
1. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Точки A1, B1, C1, D1 – середины дуг AB, BC, CD и AD. Докажите, что прямые A1С1 и B1D1 перпендикулярны.
2. На прямых AB, BC и AC выбраны точки C1, A1 и B1 соответственно так, что окружности, описанные около треугольников A1B1C и B1C1A, пересекаются в точке M. Докажите, что окружность, описанная около треугольника A1BC1, тоже проходит через точку M.
3. Стороны AB, BC и AC треугольника ABC перпендикулярны соответственно сторонам B1C1, C1A1 и A1B1 треугольника A1B1C1. Докажите, что окружности с диаметрами AA1, BB1 и CC1 имеют общую точку.
4. а) Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Докажите, что если AB||DE и AF||DC, то и BC||EF. б) Многоугольник A1A2…A2n вписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при нечетном n оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при четном n оставшаяся пара сторон равна по длине.
5. На окружности даны точки А, В, М и N. Из точки М проведены хорды МА1 и МВ1, перпендикулярные прямым NB и NA соответственно. Докажите, что АА1 параллельна ВВ1.
6. Точка Микеля. Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре треугольника. Докажите, что четыре окружности, описанные около этих треугольников, имеют общую точку.
7. Прямая Симсона. Из произвольной точки, лежащей на окружности, описанной около треугольника, опущены перпендикуляры на его стороны (или на продолжения сторон). Докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой.
8. Обобщенная прямая Симсона. Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA1, PB1 и PC1 под данным (ориентированным) углом б к прямым BC, CA и AB соответственно (точки A1, B1 и C1 лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
9. Точка P движется по описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что при этом прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой P.
10. Четыре прямые образуют четыре треугольника. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников и точка Микеля лежат на одной окружности.
Окружность с центром O проходит через вершины A и B треугольника ABC и центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что а) ABCO – вписанный четырехугольник; б) C, O и центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC лежат на одной прямой. Точки A1, B1 и C1 симметричны некоторой точке P относительно сторон BC, CA и AB треугольника ABC. а) Докажите, что описанные окружности треугольников AB1C1, A1BC1, A1B1C и ABC имеют общую точку. б) Докажите, что описанные окружности треугольников A1BC, AB1C, ABC1 и A1B1C1 имеют общую точку.
Чертежные кошмары
19.
20. На плоскости дано восемь точек А1, А2, А3, А4, В1, В2, В3, В4. Оказалось, что четвёрки точек А1, А2, В1, В2; А2, А3, В2, В3; А3, А4, В3, В4; А4, А1, В4, В1; А1, А2, А3, А4 лежат на одной окружности каждая. Докажите, что точки В1, В2, В3, В4.лежат либо на одной прямой, либо на одной окружности
25. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и P. Через точку A проведена касательная AB к окружности S1, а через точку P – прямая CD, параллельная AB (точки B и C лежат на S2, точка D – на S1). Докажите, что ABCD – параллелограмм.
И снова о том же
26. Докажите, что в треугольнике АВС середины сторон М1, М2, М3, основания высот Н1, Н2, Н3 и середины отрезков, соединяющих ортоцентр Н с вершинами, Е1, Е2, Е3, лежат на одной окружности.
27. 28. Дан вписанный четырехугольник. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.
29. Пусть точка I является центром вписанной в треугольник ABC окружности. Доказать, что центр окружности, описанной около треугольника AIC, лежит на биссектрисе угла B.
Из нынешней республики 30. На окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) взята точка D, а на прямой AD взята точка E, не совпадающая с D и A. Окружность, описанная около треугольника BDE, пересекает прямую AB в точке F. Докажите, что FE параллельно BC.
