Конспект объясняющего модуля

Синус, косинус, тангенс, котангенс

В прямоугольной системе координат Оху построим полуокружность, расположенную в первом и втором квадрантах, с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

Из точки О проведём луч m, который пересекает построенную полуокружность в точке М с координатами х; у.

Обозначим угол между лучом m и положительной полуосью абсцисс буквой .

Если угол острый, то в прямоугольном треугольнике МОН длина катета ОН  равна значению абсциссы точки М, то есть х, длина катета МН равна ординате точки М, то есть у, а длина гипотенузы ОМ равна единице.

В прямоугольном треугольнике МОН синус острого угла равен отношению противолежащего катета МН к гипотенузе ОМ:

То есть синус острого угла равен ординате у точки М:

В прямоугольном треугольнике МОН косинус острого угла равен отношению прилежащего катета ОН к гипотенузе ОМ:

То есть косинус острого угла равен абсциссе х точки М:

Если угол альфа прямой, тупой, развёрнутый или равен нулю, то синус и косинус угла определяется по тем же формулам.

Таким образом, для любого угла из промежутка от 0 до 180 градусов синусом угла называется ордината соответствующей точки М единичной полуокружности, а косинусом угла – абсцисса данной точки:

  если 0 , то

,

,

где (x; y) – координаты соответствующей точки единичной полуокружности.

Так как абсциссы всех точек единичной полуокружности находятся в промежутке от минус единицы до единицы, то справедливо неравенство: –1

Так как ординаты всех точек единичной полуокружности находятся в промежутке от нуля до единицы, то справедливо неравенство: 0

Тангенсом угла альфа называется отношение синуса альфа к косинусу альфа:

tg

Котангенсом угла альфа называется отношение косинуса альфа к синусу альфа:

ctg

Найдём значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла, равного нулю градусов. Для этого рассмотрим луч ОА. Он пересекает единичную полуокружность в точке А. Ордината точки А равна нулю, значит синус нуля градусов равен нулю: = 0. Абсцисса точки А равна единице, значит косинус нуля градусов равен одному: = 1. Чтобы найти значение тангенса угла, равного нулю градусов, разделим значение синуса этого угла на значение косинуса. Тангенс угла, равного нулю градусов, равен нулю:  tg = = 0. Котангенс угла, равного нулю градусов не определён, так как синус угла, равного нулю градусов, равен нулю и в формуле котангенса знаменатель обращается в нуль: ctg =   – значение не определено

Рассмотрев лучи ОВ и ОС, получим значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов девяносто градусов и сто восемьдесят градусов:

= 1, = 0,

tg

сtg

= 0, = –1,

tg

сtg