Тема: Определенный интеграл. Интегрирование по частям и способом подстановки

Тема: Определенный интеграл. Интегрирование по частям и способом подстановки

ТЕМА: Определенный интеграл. Интегрирование по частям и способом подстановки.

  ЦЕЛЬ: Отработать навыки нахождения определенного интеграла способом подстановки и интегрирования по частям.

Вычисления определенного интеграла

1.Формула Ньютона – Лейбница

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграланепрерывной функции является формула Ньютона – Лейбница:

F(b) – F(a)

Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции F(x) для подынтегральной функции.

Основные свойства определенного интеграла

Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак определенного интеграла:

dx = dx

Определенный интеграл от суммы функций равен сумме их определенных интегралов:

dx = dx +dx

Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

dx =0

При перестановке пределов интегрирования изменяется знак определенного интеграла на противоположный:

dx =dx

Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

dx =dx + dx

Алгоритм нахождения определенного интеграла

Найти первообразную функцию F(x) для функции f(x) Вычислить значение F(x) при х= b ( b - называется верхним пределом) Вычислить значение F(x) при х=a ( a - называется нижним пределом) Вычислить разность F(b) – F(a)

Пример

Вычислить определенный интеграл

Решение

Применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим:

- |  - () = 2

Ответ: 2

Пример 2.

Вычислить определенный интеграл  dx

Решение

Применяя формулу Ньютона – Лейбница и свойства определенного интеграла, получим:

dx = (  + х)| ( +3) – ( + (-1)) = (20 +3) – ( - 1) =24.

Ответ: 24.

2.Методические рекомендации по вычислению определенного интеграла способом подстановки (замены переменной)

При вычислении определенного интеграла способом подстановки (замены переменной) определенный интегралпреобразуется с помощью подстановки u=h(x) или x = g(u) в определенный интеграл относительно новой переменной u. При этом старые пределы интегрирования заменяются на новые, которые находятся из исходной подстановки.

Отметим, что:

при вычислении определенного интеграла способом подстановки (замены переменной) возвращаться к старой переменной не требуется.

Пример 3.

Вычислить определенный интеграл 3 dx

Решение

Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки

  2х – 1 = u.  Дифференцируя, получим 2dx = du, откуда dx = du. Находим новые пределы интегрирования. Подставляя в соотношение  2х – 1 = u значения х=2 и х=3, соответственно получим uх=2 =2·2-1=3,  uх=3 =2·3-1=5.

Следовательно,

  3dx = 3 du =  =  (54- 34) = 68

Ответ: 68

Пример 4.

Вычислить определенный интеграл  4 х2 dx

Решение

Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки

  2х3 + 1 = u.  Дифференцируя, получим 6х2 dx = du, откуда х2dx = du. Находим новые пределы интегрирования. Подставляя в соотношение  2х3 + 1 = u значения х=0 и х=1, соответственно получим  uх=0 =2·03+1 =1,  uх=1 =2·13+1=3.

Следовательно,

  4 х2dx = 4 du = |=  (35- 15) = 8

Ответ: 8

3. Интегрирование по частям

Теорема

Если функции u= u(х) и v=v(х) имеют непрерывные производные на отрезке  , то имеет место формула

  = uv|u

  Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример 5.

Вычислить определенный интеграл  dх

Решение 

Интегрируем по частям.

Положим  u=х, du = dх и dv= dх,    v = -, тогда

dх = - х | + dх = - п · (-1) + 0 + |  п.

  Ответ: П.

Пример 6.

Вычислить определенный интеграл  dх

Решение

Интегрируем по частям.

Положим  u=lnх, du = dх и dv=xdх,    v = , тогда применив формулу интегрирования по частям получим:

dх = - dх =  - 0 -  =  -  +  =  ( е2 + 1)

  Ответ:  (е2 + 1)

После завершения практической работы сделать вывод о результатах. 

Историческая справка

  Английский физик и математик Исаак Ньютон (1643-1727) и немецкий математик и физик Готфрид Лейбниц (1646 – 1716) являются основоположниками дифференциального и интегрального исчисления. Этим ученым удалось установить связь операций дифференцирования и интегрирования. Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга открыли факт, известный под названием формулы Ньютона – Лейбница.

  Методы математического анализа активно развивались в XVIII-м столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики (1821 – 1892), (1804 – 1889), (1821 – 1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева,  доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

  Строгое изложение теории интеграла появилось только в XIX-м веке. Решение этой задачи связано с именем крупного французского математика  О. Коши (1789 – 1857), одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 – 1866), французского математика Г. Дарбу (1842 – 1917).

  Различные обобщения понятия интеграла в начале XX-ого столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 – 1941) и А. Данжуа (1884-1971), советским математиком (1894 – 1959).