Лабораторная работа № 3.
Доверительные интервалы для разности средних и отношения дисперсий. Проверка гипотез о равенстве средних и дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей.
Цели работы.
Повторить доверительные интервалы для разности математических ожиданий и отношения дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей. Научиться строить доверительные интервалы для разности математических ожиданий и отношения дисперсий в программах MS Excel и Statistica. Повторить критерии проверки гипотез о равенстве средних и дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Научиться осуществлять проверку статистических гипотез о равенстве средних и дисперсий в MS Excel и Statistica.Задание.
Сгенерировать две выборки из нормального распределения с математическим ожиданием (N mod 10) + 1 и дисперсией (N mod 3) + 1. Вычислить доверительный интервал для отношения дисперсий полученных выборок при доверительной вероятности 0,95. Проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей. Если в п.3. гипотеза о равенстве дисперсий принимается, то вычислить доверительный интервал для разности средних и проверить гипотезу о равенстве средних на уровне значимости 0,05. Если в п.3. гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется, то проверить гипотезу о равенстве средних по критерию Уэлча (нижняя строка таблицы 2). Каждое из заданий 1-3 выполнить в MS Excel и Statistica для одних и тех же выборок и сравнить результаты.Оформление отчета.
Отчет должен содержать:
Истинные значения и оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения для нормального распределения. Расчет доверительных интервалов для разности средних и отношения дисперсий в MS Excel и Statistica. Результаты проверки гипотез о равенстве математических ожиданий и дисперсий. Таблицы в MS Excel и Statistica с результатами проверки гипотез.Контрольные вопросы для допуска и защиты работы:
По какому закону распределена разность средних значений нормально распределенных случайных величин? От чего зависит этот закон распределения? Каковы параметры этого распределения? По какому закону распределено отношение дисперсий нормально распределенных случайных величин? Каковы параметры этого распределения? От чего зависят эти параметры? Сгенерированы две выборки с одним и тем же законом распределения. Может ли быть отвергнута гипотеза о равенстве их математических ожиданий? Сгенерированы две выборки с одним и тем же законом распределения. Может ли быть отвергнута гипотеза о равенстве их дисперсий?Указания по выполнению работы.
Доверительные интервалы для отношения дисперсий и разности средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей могут быть вычислены по формулам, приведенным в табл. на следующей странице. Ниже приводится также таблица для проверки гипотез о равенстве дисперсий и средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей.
Быстро проверить гипотезы о равенстве дисперсий и средних в MS Excel можно с помощью надстройки Анализ данных: для проверки гипотезы о равенстве дисперсий используется Двухвыборочный F-тест для дисперсий, а для проверки гипотезы о равенстве средних – Двухвыборочный t-тест c одинаковыми дисперсиями и Двухвыборочный t-тест c различными дисперсиями.
В пакете Statistica для проверки гипотезы о равенстве средних используем: Statistics | Basic Statistics /Tables | t-test, independent, by variables. В открывшемся диалоговом окне выбираем Variables (groups) и отмечаем сравниваемые переменные. Затем нажимаем на кнопку Summary: T-tests и получаем результат.
Таблица 1. Доверительные интервалы для оценки отношения дисперсий и разности средних
двух нормально распределенных генеральных совокупностей
Оценива-емый параметр | Предположе-ние о других параметрах | Вспомогательная статистика | Распределение статистики | Двусторонний доверительный интервал |
|
известны |
|
|
|
|
неизвестны |
|
|
|
|
известны |
| N(0,1) |
|
|
неизвестны |
|
|
|
Таблица 2. Критерии проверки гипотез о равенстве дисперсий и средних
двух нормально распределенных генеральных совокупностей
Основная гипотеза | Предполо-жение о других параметрах | Статистика критерия | Распреде-ление статистики | Область принятия гипотезы и альтернативная гипотеза | |
Двусторонняя критическая область | Правосторонняя критическая область | ||||
|
известны |
| F(m, n) |
|
|
|
неизвестны |
| F(m-1,n-1) |
|
|
|
известны |
| N(0,1) |
|
|
|
неизвестны, m, n –соотв. объемы выборок X, Y |
| T(m+n-2) |
|
|
