Интегрирование от функций комплексного переменного

Интегрирование от функций комплексного переменного

Если  функция  ,    однозначная и непрерывная в области  ,  – кусочно-гладкая замкнутая или незамкнутая ориентированная кривая, лежащая в области  ,  то при условии существования предела

.  (2.6)

Тогда

Вычисление интеграла сводится к вычислению криволинейных интегралов по координатам.

Если функция  непрерывна, то интеграл  (2.6)  существует.

Из определения интеграла следует ряд свойств:

1.  где  и    один и тот же путь, проходимый в противоположных направлениях.

2.    где  – комплексная постоянная.

3.  Если кривая интегрирования    состоит из гладких линий  (то есть – кусочно-гладкая линия), то

.

4.  .

5.  – длина линии .

Если линия    задана в параметрическом виде

то

.

Если  – аналитическая функция в односвязной области  ,  содержащей точки  ,  то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

,  (2.7)

где  – первообразная для функции  :

.