8 класс

8 класс

Решение: Зная, что m относится к n так же, как 1 к 3, допустим, что m=1, а n=3.

При подстановке данных в уравнение, получим 3-2/1=1

Рассмотрим другой пример. Пусть m=2, n=6, тогда получаем: 6-4/2=1

И в первом и во втором случае получается, что значение данного выражения равно 1.

Ответ: 1

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде (x-y)(x+y)=69

Т. к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что x-y˃0, получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

    или   

Первая система имеет решение x=35, y=34, а вторая система имеет решение x=13, y=10.

Ответ: (35;34), (13;10)

3) Решение. За 100 % принимаем число b. Тогда, а = 0,92b. Увеличив число b на 700, получим (b + 700), что составляет 1,09 от числа а, т. е.  (b + 700) = 1,09а. Запишем систему и решим ее:

   

Ответ: A = 230000, B = 250000.

4) Предположим, что оба числа должны быть натуральными, и решим задачу в этом случае.

Поскольку числа имеют общий делитель 24, то они представимы в виде 24*х и 24*у, где х и у - тоже натуральные числа. Из условия 24*х + 24*у = 168 получаем, что х + y = 7. Отсюда получаем следующие возможности:

x = 1, y = 6. Тогда сами числа равны 24 и 144.

x = 2, y = 5. Тогда сами числа равны 48 и 120.

x = 3, y = 4. Тогда сами числа равны 72 и 96.

Дальнейшее увеличение х приводит снова к тем же ответам, поэтому для натуральных чисел задача имеет три решения.

Вычислить = (5·230·318 - 2І·320·227):(5·29·219·319 - 7·229·318) = (5·230·318 – 229·320):(5·228·319 - 7·229·318) = (229·318 (5·2 – 3І)):(228·318 (5·3 - 7·2) = (2·1):1 = 2

Ответ: 2

6)Решение: Пусть скорость катеров  v  км/ч, скорость течения в первой реке  v1  км/ч, а скорость течения во второй реке  v2  км/ч. Пусть  v1>v2 .

Если обозначить расстояние, проходимое в одном направлении катерами, через  S, то время, затраченное первым катером на весь путь,

t1=S/(v+v1)+S/(v-v1)=2Sv/(v2-v12),

а время, затраченное вторым катером,

t2=2Sv/(v2-v22).

Поскольку числители у обоих выражений одинаковы, то большей будет дробь с меньшим знаменателем, а так как знаменатели есть разности с равными уменьшаемыми,  то знаменатель меньше у первой дроби, у которой вычитаемое  v12  больше.

Ответ: больше времени потребуется на поездку в реке с более быстрым течением.

7)  13І+13і=2366

  14І+14і=2940

  20І+20і=8400

  21І+21і=9702

8) Дано: АВСД – трапеция,  ВС = 2, АД=3, АС=3, ВД=4

Найти: S трапеции

Решение: решим задачу методом сдвига диагонали. Проведём СЕ параллельную ВД. Четырёхугольник ВСЕД – параллелограмм, так как ВС//ДЕ (как основания трапеции) и ВД//СЕ (по построению).

SАВСД=(BC+AД)/2·СН= (ДЕ+АД)/2·СН= (АЕ·СН)/2 = SАСЕ

Найдем, что p(полупериметр)=6

По формуле Герона:

SACE=√6(6-3)(6-5)(6-4) = √6·3·1·2 = 6 ед. І

SАВСД= SАСЕ=6 ед. І

Ответ: 6 ед. І

Доказательство:

aі+aІc-abc+bІc+bі= (aі+bі) + (aІc-abc+bІc) = (a+b)·(aІ-ab+bІ)+c(aІ-ab+bІ) = (aІ-ab+bІ) (a+b+c) = (aІ-ab+bІ)·0 = 0

  Что и требовалось доказать.

Решение: на циферблате часов 60 делений. Минутная стрелка движется со скоростью 1 деление в минуту. Часовая стрелка движется со скоростью 5 делений в час или 1/12 дел. в минуту. До отметки 4 часа минутная стрелка дойдет за 20 минут, за это время часовая стрелка пройдет 20/12 дел. Х - время движения минутной стрелки от отметки 4 часа до момента, когда она догонит часовую стрелку, от отметки 4 часа минутная стрелка пройдет Х делений, часовая стрелка пройдет (20/12 + Х * 1/12) делений,

  Х = 20/12 + Х * 1/12

  Х = 1,818 мин (время движения стрелок от отметки 4 часа)

  20/11 + 20 =21,818 минут (через это время минутная стрелка догонит

  часовую после того, как часы показали ровно 4 часа)

  Ответ: 21,818 минут