УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ
ПОПОВА ЛЮДМИЛП ПЕТРОВНА
Различные методы решений задач с параметрами
1.Найти все а, при каждом из которых уравнение
4х - │3х - │х+а││= 9│х-1│ имеет хотя бы один корень.
Решение:
Перенесем слагаемые в одну часть уравнения
4х - │3х - │х+а││- 9│х-1│= 0
и рассмотрим функциюf(x)= 4х - │3х - │х+а││- 9│х-1│
как бы ни раскрывали модули, коэффициент при последнем по модулю самый большой, следовательно получаем несколько линейных функций f(x)=kx+b.
Пусть х>1тогда получаем несколько линейных функций f(x)=kx+b.
с k<0, значит убывающих на этом промежутке.
При х<1 получаем несколько линейных функцийf(x)=k'x+b'.С k>0, возрастающих на открытом луче х<1
у
х
f(x)=kx+b.
Следовательно f(1)≥0
Решим неравенство 4- │3-│1+а││≥0
│3-│1+а││≤ 4
-4 ≤ 3-│1+а│≤ 4
-1 ≤ │1+а│≤ 7, т. к. │1+а│> -1
│1+а│≤ 7 откуда -8 ≤ а≤ -6
Ответ: при -8 ≤ а≤ -6 уравнение имеет хотя бы один корень
2.Параметрические задачи на нахождение множества значений функции.
Найти все а≠0, при каждом из которых хотя бы одно значение функции у=
+2 не принадлежит промежутку
( -2; 10а-2-1].
Решение :
Найдем область значений функции
т. к. Х2≥0
х2+1≥ 1
0<
≤ 1
0<
≤ а2
2<
+2 ≤ а2+2
Изобразим на координатной прямой так, чтобы хотя бы одно значение функции не принадлежало указанному промежутку
● ● ● ● а
-2 2 10а-2 -1 а2 +2
а2+2>10а-2 -1
а4+2а2+а2-10>0
а4+3а2-10>0
Решаем неравенство
(а2+5)(а2-2)>0
а2- 2> 0
(а-
)(а +
)>0
значит
при а>
и а<
хотя бы одно значение функции у=
+2 не принадлежит промежутку ( -2; 10а-2-1].
3.Найдите все значения а, при которых множество значений функции у= 
лежит на интервале (-3 ;3)
Решение:
неравенство -3<у<3 равносильно системе
> -3
< 3
Так как 
>0, умножим обе части неравенства
> 0 
>0
<0 
< 0
>0
<0
Задача сводится к нахождению таких а, при которых решением этой системы является любое действительное число, значит:
D1<0 
<0
D2<0 
<0
<0 
<0 
<0
<0 
<0 
<0
а Є (-5; 11)
а Є (-7; 1 )
Ответ : а Є (-5; 1)
2 способ ( использование производной)
f(x)=
1) Найдем производную f(x):
f'(x) =
=
=
=
=
f'(x)=0 при a+1=0 x=±1
a=-1
1) Если a= -1 f(x)= 1, а значит ее значение принадлежит (-3; 3)
2) если a≠-1 x = ±1 – точки экстремумов
f(-1)=2+a f(1)=
так как функция дробнорациональная, найдем горизонтальные асимптоты
у=1 асимптота
у=1 асимптота
Возможны два случая расположения графиков
Значит
-3 < 2+а <3 -5 < а < 1
-3 < 
< 3 -7 < а < 11
а Є (-5; 1)
Ответ:
При а Є (-5; 1) значение функции лежит в промежутке (-3;3)
. Решение задач в системе Оха
Оах (метод областей)
Найти а, при каждом из которых существует хотя бы 1 решение неравенства х2+(5а+2)х+4а2+2а<0 , которое удовлетворяет условию х2+а2=4
Решение:
х2 + (5а+2)х + 4а2 + 2а <0
D=25a2+20a+4-16a2-8a=9a2+12a+4=(3a+2)2
x1=-a x2=-4a-2
В системе Хоа построим 2 прямые х1=-а; х2= -4а-2
а также график уравнения х2+а2=4 .то есть окружность с центром О и R=2. Определяем знаки функции у= х2 + (5а+2)х + 4а2 + 2а в каждой из четырех областей, получившихся в результате пересечения двух прямых
Выделенные участки окружности удовлетворяют условию, значит найдем а, удовлетворяющее ему
Получаем 2 системы:
1) х = - а 2) х =- 4а - 2
Х 2+ а2 = 4 х2 + а 2 = 4
2а2=4 16а2+16а+4+а2=4
а = ±
17а2+16а = 0
а = 0 а =
получаем ответ:(-
;
)U(0; 
)
5.Задачи на симметрию
Найти все значения а, при которых уравнение а2cos x +sin2 (
) - 2a
=3
имеет единственное решение
Решение:
Если ввести функцию f(x)= а2cos x + sin2 (
) - 2a
Она является всегда четной, значит ее график симметричен относительно оси ОУ при а ≠-1
Например так.
у
Но чтобы было 1 решение, график должен выглядеть так
То есть х=0 , значит а2+2а-3=0
а1=3; а2= -1- не подходит, так как 
не существует при а =-1
Подставим а=3 в уравнение 9cos x +sin2
+ 3
9cos x +
вводим функции
+3
Решаем методом оценки
-17≤ 17cosx ≤17 x2≥0
-16≤ 17cosx+1 ≤18 x2+1≥0
-8≤
≤9 6
≥6
-8≤f(x)≤9 6
+3 ≥ 9
g(x)≥9
9cos x+sin2
=9 17cos x+1= 18 cos x=1
3+6
= 9 
= 1 x=0
Ответ: при а=3 уравнение имеет единственное решение
Графический метод
6. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
Loga(x+y-1)=x-3
2x+y=4 Имеет единственное решение
Решение:
Решаем методом подстановки
y=4-2x y= 4-2x
Log a(x+4-2x-1)=x-1 Log a(-x+3)=x-3
Введем новую переменную 3-х = t, получаем уравнение
Logat=-t
Уравнение решаем, графически построив графики в системе ZOt
1 случай:
0<a<1
Единственное решение, когда прямая z=-t является касательной к кривой следовательно угловой коэффициент прямой k= - 1
k=z'(x)=
=-1
t= -
удовлетворяет0<а<1
2 случай
а>1
Все а>1 устраивают
Ответ:
при а> 1 и при а =
система имеет ед. решение
