1974 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА ТОМ Х, В. 9
ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ, МЕХАНИКИ И КИБЕРНЕТИКИ АН УССР
УДК 539.3
АСИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОГОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ОГРАНИЧЕННОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ МАТЕРИАЛА
П. Варпасуо
(Хельсинки)
Устойчивость пологой упругой сферической оболочки, защемленной по краям, находящейся под равномерно распределенной нагрузкой, является предметом многочисленных исследований.
В работах до 1960 г. рассматриваются в основном вопросы, связанные с исследованием симметричной формы потери устойчивости. Однако в них нельзя найти убедительного объяснения разницы мехнду теоретическими и экспериментально полученными значениями критиггеской нагрузки. Предполагали, что это отличие является результатом первоначальных недостатков в форме оболочки, а также наступлением потери устойчивости в асимметричной форме. В. Budiansky [2] рассмотрел задачу о критической нагрузке упругой сферической оболочки, находящейся под равномерно распределенной нагрузкой, при симметричной форме потери устойчивости. Это послужило в дальнейшем основой фундаментальных исследований N. С. Huang [6, 7, 8] .
Система координатных функций, описывающих перемещения в симметричной форме деформации, выбрана, следуя предпожению N. А. Evensеп, R. М. Evan-Iwanowski [4].
Целью настоящей работы является определение соотношения между критическим временен и нагрузкой пологой сферической оболочки при ограниченной ползучести материала с учетом обеих форм потери устойчивости, а также установление связи между критической ннагрузкой и геометрическим параметром, характеризующим отношение между начальной стрелой подъема и толпдиной оболочки, в упругом состоянии. При этом принимается во внимание возможность изменения асимметричной формы потери устойчивости при возрастании геометрического параметра λ.
§ 1. Вязко-упругие отношения между напряжением и деформацией материала. Рассмотрим общий вид операторной записи, с помощью которой можно выразить соотношение между напряжением и деформацией, причем эта запись имеет форму дифференциального уравнения любого порядка. Введем следующие операторы [3]:
Уравнение 1 Q(ε) = F Σ αi ∂i/∂ti (ε); P(σ) = Σ βi ∂i/∂ti (σ); (1.1)
В обеих суммах в Уравнений (1.1) индекс i идет от нуля до n. Рассмотрим случай, когда имеет место уравнение [1]
σ+n ∂σ/∂t = Fn ∂ε/∂t +Hε
В этом случае операторы принимают вид
Уравнение 2 Q(e) = F( H/F ε+ n ∂ε/∂t) = F( kε + n ∂ε/∂t); P(σ) = σ + n ∂σ/∂t
Уравнениях (1) и (2) F является мгновенным модулем упругости Предположим, что материал инвариантный во времени и квазиупругий, т. е. вязко-упругие параметры не зависят от времени. Кроме того, для характеристики деформации материала [5] нужно лишь одно уравнение, из которого следует, что коэффициент Пуассона постоянен.
§ 2. Разрешающие дифференциальные уравнения пологой сферической оболочки.
Исследуемая оболочка показана на рис. 1.
Рис. 1 Геометрия ислуемой оболочки.
Перемещение U предполагается большим по сравнению с перемещениями W и V. Следуя предположению Кармана, лишь вер тикальные компоненты Ŭ' и Ŭ принимаем в квадрате. Допустим, что оболочка пологая и статические условия равновесия в срединной поверхности тождественны статическим условиям круглой пластинки, а также удовлетворяются функцией напряжения, определенной с помощью уравнений
Уравнение 3 Nr = 1/r E'' + 1/r2 Л; Nθ = E''; Nrθ = - (1/r Л)' (2.1)
В уравнении (3) E является функцией напряжения. Исходя из предположения плоского напряженного состояния и аппроксимируя сферическую оболочку параболоидом вращения, уравнения К. Maгguerre [9], описывающие конфигурацию и напряженное состояние оболочки, представим в виде
Уравнение 3 DQ/P ∆4U-2U0/L2∆2E+(1/rE'+1/r2Л)U''+(1/rU'+1/r2Ь)E''+2(1/rЛ'-1/r2Л)(1/rЩ'-1/r2Щ)-q=0;
-P/(FhQ)∆4E=2U0/L2∆2U+(1/r '-1/r2 Щ)2-U''(1/rU'+1/r2 Ь). (2.2)
Граничные условия при жестком закреплении по кравзм таковы:
U=0; U'=0; W=0; V=0.
Два последних условия можно выразить с помоцхью функции напряжения
Уравнение 4 E'' - ν /r E' = 0; r (E" - ν/r E') - 1/r E' + νE'' = 0. (2.3)
В уравнении (5) q0 = 32FU03h/(λ2L4) - классическая нагрузка потери устойчивости совершенной сферической оболочки с одинаковым радиусом кривизны и одинаковой толщиной.
Тогда из уравнений (2.2) получаем
Уравнение 5 Q/(λ4P)∆4u - ∆2e+(1/xe'+1/x2л)u''+(1/xu'+1/x2ь)e''+2(1/xл'-1/x2л)(1/xщ'-1/x2щ)-4p/λ2=0;
-∆4e = Q/P[∆2u+(1/x щ '-1/x2 щ)2- (1/xщ'+1/x2 ь) u'']. (2.4)
Выраженные с помощью безразмерных величин u и e граничные условия примут вид
u=0; u'=0; e"-νe'-νл =0;
(e" - νe' - νл)' - e' - л - νe" + 2 (1 + ν)(1/x л) = 0,
причем х=1; в центре оболочки u и e должны удовлетворять условиям ограниченности напряжений.
§ 3. Осесимметричная форма деформации.
Предполагая, чго имеем лишь осесимметричную форму деформации и равномерно распределенную нагрузку, уравнения (2.4) запишем в форме
Уравнение 6 Q/(λ4P) ∆4u - ∆2e + (1/x) e'u'' + (1/x) e''u' + 4p/λ2 = 0;
-∆4e = (Q/P)[ ∆2u - (1/x) u'u''] (3.1)
После интегрирования по х и подстановки φ = - u' и Φ = e' уравнения (3.1) примут вид
Уравнение 7 - Q/(λ4P)(xφ'' + φ' - φ/x) - xΦ - Φφ + 2px2/λ2 = 0;
-(xΦ'' + Φ' - Φ/x) = (Q/P)[-xφ - (1/2)φ2]. (3.2)
Граничные условия для функций φ и Φ будут
φ=0; Φ'-νΦ =0.
Для решения краевой задачи применим метод Бубнова; решение ищем в виде рядов бесселевых функций первого рода и первого порядка
Уравнение 8 φ(x, t) = Σ φn(t) J1(ωnx); Φ(x, t) = Σ Φn (t) J1(κnx), (3.3)
В уравнении (9) индекс суммирования идет от единицы до бесконечности и ωn и κn - увеличивающиеся положительные корни уравнений
J1(ωn) = 0; κn J1(κn) - ν J1(κn) = 0.
В первом приближении берем только первые члены рядов. Тогда, подставляя вместо операторов P и Q единицу, пользуясь обозиачениями
a = 2ω2κ2/δ2 ∫01xJ12(ωx)dx ∫01xJ12(κx)dx; δ = ∫01 J12(ωx)J1(κx)dx;
b = (1/δ) ∫01xJ1(ωx)J1(κx)dx; d = ω2/δ ∫01xJ12(ωx)dx;
c = (2 ∫01x2J1(ωx)dx)/(ω2 ∫01xJ12(ωx)dx; f = κ2/δ ∫01xJ12 (κx)dx,
и преобразуя систему координат по формуле φ = φ'-b, первые коэффициенты φ и Φ рядов (3.3) можно отпределить с помощю двух алгебраическсих уравнений
Уравнение 9 φ3 + (a/λ4 - b2)φ + a/λ4 (λ2cp - b) = 0 (3.4)
Φ = 1/(2f) (b2 - φ2). (3.5)
Задача Коши для определения соотношения между φ, Φ и временем характеризуется двумя обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка
Уравнение 10 dφ /dτ=1/(2λ2(φ2 - fΦ)+a)[a(k-λ2cp) + k(b2λ4 - a)φ - kλ4φ3];
dΦ/dτ=1/(2λ2(φ2 - fΦ)+a)[kdb2-2d(kb-cλ2p)φ+kdφ2-λ4(2-k)Φφ2-(λ4kb2+a)Φ+2λ4fΦ2]. (3.6)
Используя уравнения (3.4) и (3.5}, можем определить значения представляющих интерес величин. Приравнивая нулюо коэффициент при φ в уравнении (3.4), получаем наименьшее значение для параметра λ, при котором возможна потеря устойчивости в симметричной форме. Это условие дает
λmin = (a/b2)1/4 ~ 3.4.
Определяя относительные экстремумы функции от величины φ, представлениой уравнением (3.4), найдем пределы упругой устойчивости
Уравнение 11 φcr = +/- (1/λ2)((b2λ4-a)/3)1/2 (3.7)
pcr = 1/(λ2c)[b+/- 2/(aλ2)((b2ν2-a)/3)3/2]. (3.8)
Состояние равновесия после длительного времени, когда процесс ползучести уже завержен, характеризуется уравнениями
Уравнение 12 φ3 + (a/λ4 - b2)φ + a/λ4(λ2cp/k - b) = 0; (3.9)
Φ = k/(2f)(b2 - φ2). (3.10)
Для пределов устойчивости в длительном состоянии получаем
Уравнение 13 φcr = +/- 1/λ2((b2λ4 - a)/3)1/2; pcr = k/(λ2c)[b +/- 2/(aλ2)((b2λ4 - a)/3)3/2]. (3.11)
Кроме того, можем определить то соотношение между p и φ, которое служит критерием устойчивости во время процесса ползучести. Из уравнения (3.9) видим, что значению φ= b соответствует величина p=0. В случае мгновенного разгружения значением φ, которое соответствует p=0, будет δb, где δ-число (δ<1), т. е. промежуточное мгновенное упругое поведение во время процесса ползучести характеризутся уравнениями
Уравнение 14 φ3 + (a/λ4 - b2γ2)φ + a/λ4(λ2cp-γb) = 0; (3.12)
Φ = 1/(2f)(γ2b2 -φ2). (3.13)
Аналогично определим на основании (3.12) уравнения, близкие по значению к уравнениям (3.7), (3.8). В результате, с помощью δ, получаем параметрическое представление для критерия устойчивости. Исключая параметр δ, этот критерий запишем в виде
Уравнение 15 p = 1/(λ2c)[(3φ2 +a/λ4)1/2 +2λ4/a φ2], (3.14)
От Уравнения (16) при φ=0 находим наименьшее значение нагрузки, при котором потеря устойчивости возможна, как функция геометрического параметра
Уравнение 16 p = 1/c √a/λ4 ~ 80.7/λ4. (3.15)
Если p < 80.7/λ4, то деформация во время процесса ползучести идет плавно без хлопка через горизонтальнусо поверхность.
§ 4. Аситметричная форма потери устойчивости.
Разлагая u и ψ на симметричную и асимметричную части, путем линеаризации можем вывести из уравнений (2.4) систему дифференциальных уравнений, которая соответствует процессу начальной стадии деформации при асимметричной форме деформирования. Так как для симметричной части перемещения и функции напряжения имеем φ = - u', Φ = e', то указанная система дифференциальных уравнений принимает вид
Уравнение 17 1/λ4 ∆4u + ∆2 e + 1/x Φu'' - 1/x e'φ' - 1/x φ e'' + 1/x u'Φ' - 1/x2ьΦ' = 0;
∆4e = ∆2 u - 1/x u'φ' - 1/x φu' - 1/x2 ьφ'. (4.1)
Ищем решение дигя системы (4.1) в виде двойных тригонометрических ряров
Уравнение 18 u (x,θ) = ΣΣ umn sin4 (mπx)cos(nθ);
e (x,θ) = ΣΣ emn sin4 (mπx)cos(nθ). (4.2)
Индекс суммирования в первой сумме уравнений (4.2)- m и в втарой сумме n. Система (4.2) является совершенной в том смысле, что с ее помоьщю можно представить любое возможное асимметричное перемещение, удовлетворяющее условие ограниченности напряжений в центре оболочки.
Пользуясь первыми членами рядов(4.2),как и рядов(3.3),получаем
Уравнение 19 1/λ4αu-α1e+[σ(n,ω)-γ(ω)-β(ω)]φu-[σ(n,κ)-γ(κ)-β(κ)]Φu = 0;
αe+α1u-[σ(n,ω)-γ(ω)-b(ω)]φu =0. (4.3)
3десь
α(n) = ∫01[4π4(10sin4πx-48sin2πxcos2πx+6cos4πx)+8π3(6sxcos3πx-10sxsin2πxcosπx)-4π2(3sx2cos2πx-sin2πxsx2)+4πsx3cosπx-4n2sx4+8πn2sx3cosπx-8π2n2(3sx2cos2πx-sin2πxsx2)+n4sx4]sin4πxdx;
α1(n) = ∫01[4π2(3sin2πxcos2πx-sin4πx)+4π sx sin2πxcosπx-n2 sx 2sin2πx]sin4πxdx;
γ(ω) = ∫01 4π2(3 sx sinπxcos2πx - sx sin3πx)J1(ω x)sin4πxdx;
β(ω) = ∫01 4π ω (sx sin2πxcosπx)[J0(ω x)-J1(ω x)/( ω x)]sin4πxdx;
σ(n,ω) = ∫01ωn2(sx 2sin2πx)[J0(ω x) - J1(ω x)/( ω x)] sin4πxdx; (sx = sinπx/x).
Кроме (4.3)имеем уравнение (3.5), выражающее зависимость между φ, Φ. Для того чтобы у системы (4.3) было решение, отличное от тривиального решения e = u = 0, необходима чтобы определитель
системы был равен нулю. Исходя из этого условия и из уравнения (3.5), находим критическое значение
Уравнение 20 Φ = (1 + λ4k1)/(λ4k0), (4.4)
В уравнении (4.4) имеем
k1 = (α1/a)2 + b2[(σ(n,ω) - γ(ω) - β(ω))/α]2;
k0 = (σ(n,κ) - γ(κ)-β(κ))/α + 2f[(σ(n,ω) - γ(ω) - β(ω))/α]2.
Для пределов устойчивости в длительном состоянии при асимметричной форме деформирования с помощью выражений (3.9), (3.10)и (4.4) получаем
Уравнение 21 φcr = +/- 1/(λ4√k)[kb2λ4-2f(1+λ4k1)/k0]1/2;
pcr = k/(λ2c)[b+/-1/(λ2k√k)((1+λ4k1)/(dk0)-k)(kb2λ4-2f(1+λ4k1)/k0)1/2]. (4.5)
Подставив в уравнения (4.5) k=1, найдем пределы устойчивости в начальном состоянии.
Чтобы определить значение λ, когда потеря устойчивости одинаково возможноа или в симметричной или в асимметричной форме деформирования, приравниваем критические значения φ; в длительном состоянии, учитывая обе формы потери устойчивости, имеем
λ = [(6f+ak0k)/(2b2k0k-6fk1)]1/4.
В начальном состоянии, при k=1, эта величина составляет 5.45.
Рис. 2. Изменение критической нагрузки p = q/q0 в зависимости от геометрического параметра λ, при различном числе волн n по окружности оболочки и коэффициенте Пуассона ν = 1/6.
Рис. 3. Соотношение между критическим временем τ = t/n и нагрузкой p = q/q0 при различных значениях параметров λ и k.
Для значения λ, когда число волн по окружности оболочки возрасмает от n1 до n2, с помощьло уравнения (4.4) находим
Уравнение 22 λ = [(k0(n1)-k0(n2))/(k1(n1)k0(n2)-k1(n2)k0(n1))]1/4. (4.6)
Для n1 = 2 и n2 = 3, величина λ =10.9.
Используя соотношения (3.12),(3.13) И (4.4), для критерия устойчивости получаем
Уравнение 23 p = 1/(λ2c){((1+λ4k1)/dk0))φ+[2f(1-λ4k1)/(k0λ4)+φ2]1/2}. (4.7)
Подставив в выражение (4.7) то значение р, которое соответствует φ=0 из (3.9) можем определить наименьшее λ, при котором возможна потеря устойчивости в неосесимметричной форме
Уравнение 24 λ = [2f/(b2k0-2fk1)]1/4 ~ 5.0. (4.8)
На рис. 2 показано изменение критической нагрузки p = q/q0 в зависимости от геометрического параметра λ, при различном числе волн n по окружности оболочки и коэффициенте Пуассона ν=1/6. При этом сплошные линии (симметричная форма потери устойчивости) соответствуют результатам данной работы, а пунктирные - результатам работ В. Budiansky [2] и N. С. Huang [6, 7, 8] . Штриховые линии соответствуют асимметричной форме потери устойчивости.
На рис. 3 графически показано Соотношение между критическим временем τ = t/n и нагрузкой p = q/q0 при различных значениях параметров λ и k.
На основании изложенного можем сделать следующие выводы:
1. Геометричесгсий параметр λ, определяет форму потери устойчивости. Если λ<3.4, то мгновенный хлопок невозможен (реформирование произойдет плавно через горизонтальную поверхность). Оболочка поведет себя подоно круглой пластинке без начальной стрелы подъема.
Такое же поведение возможно, когда λ > 3.4 при p < 80.7/ λ4. Если 5.0 > λ > 3.4, то потеря устойчивости возможноа только в симметрицной форме.
В случае 5.5>λ>5.0 обе формы потери устойчивости в принципе возможны, а симметричная форма будет преобладаюпхей, поскольку ей соответствует меныпее значение перемещения. При λ>5.5 преобладает асимметричная форма [6].
2. Хотя краевая задача решена приближенно (взяты только первые члены рядов, описывающих решение системы разрешающих дифференциальных уравнений), установленная зависимость между геометрическим параметром λ, и критической нагрузкой довольно хорошо совпадает с результатами работы [2] при λ<5.5, когда преобатадающей будет симметричная форма потери устойчивости. При λ>5.5, когда преобладающей является асимметричная форма потери устойчивости, приведенные результаты прецставлянот консервативную аппроксимаиию с результатами, установленными N. С. Huang [6] .
ЛИТЕРАТУРА
1. Р ж а н и ц ы и А. Р., Теория ползучести, М., Стройиздат, 1968.
2. B u d i a n s k y В., Buckling of clamped shallow spherical shells, Proceedings of the Symposium on the Theory of Thin Elastic Shells, De1ft, Delft, North Holland Publ. Co., Amsterdam, August (1959).
3. Churchill R. V., Operational Mathematics, McGraw-Hill (1958).
4. Evensen H. A. and Evan-Iwanowski R. M., "Dynamic response and stability of shallow spherical shells subject to time-dependent loading," AIAA J., May (1967).
5. Fluegge W., The Theory of Visco-elasticity, Blaisedell, New York (1967).
6. Huang N. C., "Unsymmetrical buckling of thin shallow spherical shells, " J. Appl. Mech., Trans. ASME, 31, No. 9 (1964).
7. Huang N. C, "Axisymmetrical creep buckling of clamped shallow spherical shells, " J. Appl. Mech, Trans. ASME, 32; No. 6 (1965).
8. Huang N. C., "Nonlinear creep buckling of some simple structures," J. Appl. Mech., Trans. ASME,34, No. 9 (1967.
9. Marguerre K., "Zur Theorie der gekrьmmten Platte grosser Formдnderung", Jahrbuch der 1939 deutschen Luftfahrtforschung.
Поступила 11.1 1974 г.
