Лекция
Тема: Сумма и разность синусов (косинусов).Формулы приведения
План
1.Формулы суммы и разности синусов (косинусов).
2.Примеры решения упражнений
3. Формулы приведения
4.Примеры применения формул приведения
Формулы суммы и разности синусов (косинусов).
Рассмотрим формулы, позволяющие превратить сумму и разницу синусов (косинусов) в произведение. Запишем формулы сложения для синуса:
(1)
(2)
Складывая почленно левые и правые части этих равенств, получим:
+
=
(3) Введём обозначения: x+y=
, x-y=
Получим 
;
.Обозначим, 
и
могут принимать любые значения. Тогда равенство (3) можно переписать так:
|
Это тождество называют формулой суммы синусов.
Вычтем почленно от равенства (1) равенство (2): 
-
=
.
Если воспользоваться ранее введёнными обозначениями, получим равенство, которое называют формулой разности синусов: 
|
Запишем формулы сложения для косинуса:
Складывая и отнимая почленно эти равенства, получаем: 
(4)
(5)
Введём обозначения x+y=
, x-y=
, получаем формулы суммы и разности косинусов:
|
|
Примеры решения упражнений
Пример. Преобразуйте в произведение: 1) 
; 2) 
; 3)
;
4) 
; 5)
.
Решение:1) 
=
.
2) 
.
3) 
=
=
.
4) 
=
=
=
=
.
5) 
=
.
Формулы приведения
Из всех существующих способов задания формул приведения оптимальным является следующая таблица:
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| - |
| - | - |
| - |
| - |
| - | - |
| - |
|
|
| - |
|
| - | - |
|
| - |
| - |
|
| - | - |
|
| - |
Напомним, что 
К наиболее распространенным случаям применения формул относят перевод тригонометрических функций углов:
; 
; 
к тригонометрическим функциям угла 
.
1) если в формуле содержатся углы 180° и 360° (р и 2р), то наименование функции не изменяется;
если же в формуле содержатся углы 90° и 270° (р/2 и 3р/2), то наименование функции меняется на сходное (синус на косинус, тангенс на котангенс.);
2) чтобы определить знак в правой части формулы (+ или—), достаточно, считая угол ц острым, определить знак выражения, стоящего в левой части формулы.
Примеры применения формул приведения
Пример 1. Упростите выражения:
С помощью формул приведения нахождение значений тригонометрических функций любого угла можно свести к нахождению значений тригонометрических функций угла от 0 до 
.
Пример 2. Приведите угол к промежутку 
и найдите его значение:
Упражнения для закрепления материала
1.Преобразовать в произведение: 1)cos50є+ cos20є; 2) cos2
- cos4
;
3)sin
+ sin4
;4) sin5є - sin3є
5) cos
+cos
; 6) sin(х+
)+ sin(х-
); 7) cos(
-
) –cos(
+
).
2.Упростить выражение: 1) 
; 2)
; 3)
.
3. Преобразовать в произведение: 1)
; 2)
; 3)
.
4) 
; 5)
; 6)1-
.
4.Доказать тождество: 1)
;
2)
;
3)
;4)
;
5)
.
5. Приведите к тригонометрической функции угла 
.
6. Приведите к тригонометрической функции угла 
7. Преобразуйте выражение:
Контрольные вопросы
1. Запишите формулу: 1) суммы синусов; 2) разности синусов; 3) суммы косинусов;4) разности косинусов.
2. Сформулируйте правила, которыми можно руководствоваться при применении формул приведения.
Литература
1., стр.156-161.
2., стр.211-214.
3..єва, стор.98-99
