Отгадай число

Направление	Точных наук
Полное название темы работы	Отгадай число
Тип работы	Исследовательская работа
Фамилия имя автора	Федосенко Данил
Школа (класс)	МКОУ «Высотинская СШ» (5 класс)
Руководитель
Контактный телефон	8(391-99)32-2-81

Содержание

Введение  …………………………………………………….  3 Основная  часть  ………………………………….………… 5   Из истории уравнений  ………………………..…………  5   Основные понятия  ………………..………….……….….  7   Простые уравнения  …….……………………………..…  7   Задача «Отгадай число» ….. ……….……………….……. 9

2.5  Все виды уравнений, изучаемые в  школьном учебнике  «Математика 5»  …..…................................  10

Заключение …………………..…………………………….  13 Список  литературы  …..…………………………………..  14

Введение

  Уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место, так как используются в различных разделах. Большинство задач математики сводится к решению уравнений различных видов. Овладевая способами решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (сельское хозяйство, транспорт, промышленность, связь и т. д.). Тема «Уравнения. Способы решения уравнений» была и будет всегда актуальной, потому что многие мои сверстники испытывают затруднения при их решении. А умения решать уравнения понадобятся нам в дальнейшем при решении задач по физике, химии. И еще, составление и решение уравнений способствуют развитию мышления, находчивости, сообразительности.

  В Неделю математики я встретился с «фокусами» по отгадыванию чисел. На одном из математических мероприятий учитель математики предложил выполнить действия следующего характера: задумайте натуральное число, прибавьте к нему 7, умножьте на 2, отнимите 5, отнимите задуманное число, умножьте на 3, отнимите 1. Затем учитель спросил, что у нас получилось в результате? И, получив ответ, мгновенно сообщил нам задуманное число. Учитель оказался «фокусником» на данном мероприятии. Я заинтересовался вопросом, что же лежит в основе «фокуса»?

Проблема, которую я хочу рассмотреть в своей работе, такова: уравнения – прихоть математиков или жизненная необходимость?

Цель данной работы: исследовать, что лежит в основе задачи «Отгадай число».

Гипотезой исследования стало предположение, что в основе решения задачи «Отгадай число» лежит уравнение.

Для достижения поставленной цели необходимо решить  следующие  задачи:

1)  изучить и проанализировать литературу по данному вопросу;

2) исследовать задачу «Отгадай число»;

3) найти все виды уравнений, изучаемые в  школьном учебнике  Н. Я.  Виленкина «Математика 5»;

4) разработать памятку «Решаем уравнения на 5».

Объектная область исследования – математика.

Предмет исследования – решение задачи «Отгадай число» и его запись в виде уравнения.

Методы исследования:

-  поисковый метод с использованием научной  и учебной  литературы;

- исследовательский метод при определении видов уравнений, изучаемых в школьном учебнике Н. Я.  Виленкина «Математика 5»;

-  практический метод при разработки памятки «Решаем уравнения на 5».

  Практическая значимость моей работы заключается в том, что  материал реферата и 

  мультимедийное приложение можно использовать на уроках  математики, во внеурочное время

  на дополнительных занятиях.

Степень изученности данного вопроса.

Работая над проблемой и выдвинутой гипотезой, я для себя сделал много открытий, узнал много интересного и нового об  уравнениях. Например, узнал  о том, что ещё в древности люди пользовались записями, не зная, что это – уравнения. В наше время невозможно представить себе решение различных  задач не только в математике, но и в других  науках, без применения  уравнений.

Характеристика личного вклада в работу.

Я выполнил данную работу потому, что мне было интересно доказать, что «фокусы» в наше время можно научно обосновать, а любые задачи – решить. Для этого просто нужны знания.

Степень самостоятельности в исследовании заключается в следующем:

литературу посоветовала руководитель; отбор необходимого материала провел сам; поиск информации в Интернете осуществлял самостоятельно; общая презентация по защите работы составлена мною под руководством руководителя; руководитель работы помогла сформулировать проблему и гипотезу и логично выстроить всё исследование.

Структура данной работы следующая:

- в первом разделе представлены исторические сведения о развитии уравнений;

- во втором разделе приведено исследование задачи «Отгадай число»;

- в третьем разделе представлены все виды уравнений, изучаемые в  школьном учебнике  Н. Я.  Виленкина «Математика 5»;

- в заключение работы изложены основные выводы и результаты выполненного исследования;

-  список литературы;

-  в приложении представлена памятка «Решаем уравнения на 5».

2. Основная часть

Из истории уравнений

  Искусство решать уравнения возникло давно. Вопросом решения уравнений занимается раздел математики – алгебра, которая изучает общие свойства действий над различными величинами.

  Уже около 4000 лет назад вавилоняне и египтяне решали задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений.  Уравнения умели решать в древности также китайские и индийские учёные.

  Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаютcя во многих текстах глубокой древности. B Московском папирусе, представляющем свиток, изготовленный из растений, на котором сделаны записи около 1850 г. до н. э., и в папирусе Axмeca, например, содержатся задачи, в которых неизвестное имеет особый символ и название: «хау» или «аха». Оно означает «количество», «куча». Так называемое «исчесление кучи», или «вычисление хау», приблизительно соответствует нашему решению задач с помощью уравнений.

Рис.1 Математический папирус Ринда; 1550 г. до н. э., Британский музей. Содержит решения 84 задач, вычисления площадей и объемов

Рис.2 Древнеегипетская запись уравнения.

Вот пример задачи и её решение из папируса Ахмеса:

Задача. «Количество и его четвёртая часть дают вместе 15».  В настоящие время для решения задачи составляется уравнение  

Решая его, находим: х = 12.

  В папирусе Ахмеса решение начинается так: «Считай с 4; от них ты должен  взять четверть, а именно 1;  вместе 5». Затем 15 делится на 5, частное умножается на 4 и получается неизвестное 12.

  К первым, самым древним задачам на составление уравнений, относятся некоторые задачи, содержащиеся в древнеегипетском  Московском папирусе.

Задача:  «Число и его половина составляет 9. Найти  число.

В современной записи уравнения к решению этой задачи будет иметь вид: 

  В качестве неизвестного берут произвольное число, в данном случае 2, так как вторая часть его один, просто вычисляется. Далее 2 + 1 = 3.Однако, по условию задачи результат должен быть не 3, а 9, следовательно, во сколько раз 9 больше 3, во столько раз неизвестное должно быть больше произвольно взятого числа 2.  А значит 2 · 3 = 6.

Ответ: неизвестное число 61.

  В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в.  Одним из крупных математиков того времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Его «Книга абака» (1202) – трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений.

  Рис.4 Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (1170 — 1250).

  Рис.5 Страница из Книги абака.

  В конце XVI  в. французский математик Ф. Виет ввёл буквенные обозначения. 

  Рис.6  Виет Франсуа (1540 —1603).

2. 2 Основные понятия уравнения

  Уравнение – равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Выражение слева от знака равенства называется левой частью уравнения, а справа от знака равенства – правой частью уравнения.

Значение неизвестного, называется корнем уравнения или решением уравнения. 

  Корнем уравнения называется число, при подстановке которого вместо буквы получается верное равенство.

  Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).

В уравнениях пишут одну из строчных букв латинского алфавита.

Чаще употребляют х (икс), у (игрек), z (зет), а (а), b (бэ), с (цэ).

Например:  х + 12 = 250,  54 : у = 6,  b ·  6 = 48 ,  173 – с = 78.

  2. 3 Простые уравнения.

Уравнения называются простыми тогда, когда нужно выполнить только одно арифметическое действие, чтобы найти неизвестное число.

Компоненты сложения, вычитания, умножения, деления.

Сложение  a + b = c

a – первое слагаемое; b – второе слагаемое; с – сумма

Вычитание  a – b = c

а – уменьшаемое; b – вычитаемое; с – разность

Умножение  a ∙ b = c

а – первый         множитель; b – второй множитель; с – произведение

Деление  a : b = c

а – делимое; b – делитель; с – частное

Пример 1. Решаем уравнение  х + 15=78; 

1.  х – неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитаем известное слагаемое:

х = 78 – 15 ,

х = 63.

2.  Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение, вместо буквы х найденное число 63 и выполняем сложение. Проверка: 63 + 15 = 78;  78 = 78.

3.  Сравниваем значения левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 63.

Пример 2.  х – 8 = 15;

1. х – неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить известное вычитаемое.

х – 8 = 15;

х = 15 + 8;

х = 23.

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение вместо буквы х найденное число 23.

Проверка: 23 – 8 = 15;  15 = 15;

3. Сравниваем значение левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 23.

Пример 3.  115 – х = 9.

1. х – неизвестное вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

х = 115 – 9,

х = 106.

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение вместо буквы х найдено число 106.  Проверка: 15 – 6 = 9;

  9 = 9;

3. Сравниваем значение левой и правой частей уравнения.

Ответ:  х =  106.

Пример 4.  4 · х = 144;

1. х – неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делим на известный множитель.

4 · х = 144;

х = 144: 4;

х = 36.

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение вместо буквы х найдено число 36 и выполним умножение.

Проверка: 4 · 36 = 144;  36 = 36;

3. Сравниваем значение левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 36.

Пример 5.  54: х = 6;

1. х – неизвестный делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое  разделить на частное.

54 : х = 6;

х = 54: 6;

х = 9.

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение вместо буквы х найдено число 7 и выполним деление.

Проверка:  54: 9 = 6;  6 = 6;

3. Сравниваем значение левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 9. 

Пример 6.  х : 8= 13;

1. х – неизвестный делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

х : 8 = 13;

х = 13 · 8;

х = 104.

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение вместо буквы х найдено число 104 и выполним деление.

Проверка:  104 : 8 = 13;  13 = 13;

3. Сравниваем значение левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 104.

2. 4  Задача  «Отгадай число»

  Каждый из вас, возможно, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия: задумайте натуральное число, прибавьте 2, умножьте на 3, отнимите 5, отнимите задуманное число, умножьте на 2, отнимите 1. Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате. И, получив ответ, мгновенно сообщает задуманное вами число.

  Итак, что же лежит в основе фокуса? «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», - писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика»2.

Переведем данную задачу на язык алгебры. Таблица 1.

На родном языке	На языке алгебры
Задумайте число,	x
прибавьте 2,	x + 2
умножьте результат на 3,	3x + 6
вычтите 5,	3x + 1
вычтите задуманное число,	2x + 1
умножьте на 2,	4x + 2
вычтите 1.	4x + 1

  Чтобы ответить на наш вопрос, достаточно обратиться к правой колонке таблицы, где указания фокусника переведены на язык алгебры. Из этой колонки видно, что если вы задумали какое – то число x, то после всех действий у вас должно получиться выражение 4x + 1. Зная это, нетрудно «отгадать» задуманное число.

  Пусть, например, вы сообщили фокуснику, что получилось 9. Тогда фокусник быстро решает в уме уравнение  4x + 1 = 9,  4x = 8  и  x = 2.

  Таким образом, подтверждается гипотеза, о том, что в основе задачи «Отгадай  число» лежит уравнение.

  2.3 Виды уравнений, изучаемые в  школьном учебнике Н. Я.  Виленкина «Математика 5».

  Я провел обзор школьного учебника Н. Я.  Виленкина «Математика 5», и определил, что в учебнике встречаются 77 видов уравнений. Я уверен, что это не все уравнения, которые можно обнаружить в данном учебнике. Все уравнения я записал в общем виде, а так же привел примеры каждого из них.

№	Виды уравнений	Примеры
1	x – a = b	x – 8 = 1
2	x + a = b
3	a – x = b	15 – x = 9
4	a + x = b
5	(x + a) – b = c	(x + 15) – 8 = 17
6	(a + x) – b = c	(24 + x) – 21 = 10
7	(a – x) + b = c	(45 – x) + 18 = 58
8	(x – a) + b = c	(x – 35) + 12 = 32
9	a– (x + b) = c	56 – (x + 12) = 24
10	a – (x – b) = c	16,1 – (x – 3,8) = 11,3
11	(x – a) – b = c	(x – 87) – 27 = 36
12	a – (b + x) = c	25,34 – (2,7 + x) = 15,34
13	ax + bx = c	x + x = 64

14	a + x = b – c	127 + x =357 – 85
15	a + x – b = c	125 + x – 85 = 65
16	a – x – b = c	144 – x – 54 = 37
17	a + x + b = c	52 + x + 87 = 159
18	x – a – b = c	x – 35 – 64 = 16
19	a∙ x = b	4∙ x = 144
20	x : a = b,  a ≠ 0	x : 8 = 13
21	a : x = b	42 : x = 6
22	x ∙ a = b	x ∙ 94 = 846
23	ax + b = c	25x + 49 = 149
24	a + bx = c	13 + 10x = 163
25	ax – b = c	9x – 54 = 162
26	a – bx = c	181 – 8x = 45
27	(x – a) ∙ b = c	(x – 12) ∙ 8 = 56
28	a ∙ (x + b) = c	24 ∙ (x + 9) = 288
29	(x + a) : b = c,  b ≠ 0	(x + 25) : 8 = 16
30	a : (x – b) = c	295,1 : (x – 3) = 13
31	a : x + b = c	44 : x + 9 = 20
32	a∙ x = a : x	15 ∙ x = 15 : x
33	x + x = x ∙ x	x + x = x ∙ x
34	x ∙ a = x : a,  a ≠ 0	x ∙ 10 = x : 10
35	(a + x) ∙b = c	(38 + x) ∙12 = 840
36	a – bx = c	160 – 2x = 40
37	a ∙ b ∙ x = c	4 ∙ 25 ∙ x = 800
38	x ∙ a ∙ b = c	x ∙ 5 ∙ 20 = 500
39	x : a = b : c,  c ≠ 0	x : 89 = 1068 : 89
40	ax = b∙c	365x = 53∙365
41	x + x + x = a + x	x + x + x = 46 + x
42	x : a = b + c, a ≠ 0	x : 16 = 324 + 284
43	a : x = b – c	1344 : x = 543 – 487
44	x ∙ a = b + c	x ∙ 49 = 927 + 935
45	a : (b – x) = c	992 : (130 – x) = 8
46	a : x – b = c	528 : x – 24 = 64
47	a : b + x = c,  b ≠ 0	88880 : 110 + x = 809
48	a + x : b = c,  b ≠ 0	6871 + x : 121 = 7000
49	a + b : x = c	3810 + 1206 : x = 3877
50	x + a : b = c,  b ≠ 0	x + 12705 : 121 = 105
51	(ax + bx) ∙ c = d	(3x + 5x) ∙ 18 = 144
52	(ax – bx) : c = d, c ≠ 0	(7x – 3x) : 8 = 17
53	a : (bx – cx) = d	48 : (9x – x) = 2
54	x : x =a	x : x =1
55	a ∙ (x – b) = c	975 ∙ (x – 361) = 14625
56	a(b + x) + d = c	3(25 + x) + 15 = 135
57	a – x = b – c
58	a – b + x = c
59	,  b ≠ 0
60	(ax + b) ∙ c = d	(27x + 11) ∙ 315 = 11970
61	x : a = b – c,  a ≠ 0	x : 27 = 2467 – 1867
62	x + a = b + c
63	a – (b – x) = c	34,2 – (17,9 – x) = 22
64	x – a = b + c	x – 6,8 = 8,7 + 6,4
65	a – x + b = c	10 – x + 4,3 = 10,7
66	x2 = x	x2 = x
67	x3 = x	x3 = x
68	x2 = x3	x2 = x3
69	(x – a) : b = c,  b ≠ 0	(x – 1,2) : 0,6 = 21,1
70	a ∙ (b + x) = c	4,2 ∙ (0,8 + x) = 8,82
71	ax – bx – cx + d = f	5,6x – 2x – 0,7x + 2,65 = 7
72	ax – (bx + c) = d	4,7x – (2,5x + 12,4) = 1,9
73	(a – x) ∙ b = c	(8,3 – x) ∙ 4,7 = 5,64
74	(ax – bx) ∙ c = d	(7x – 2x) ∙ 8 = 80
75	(ax + x) : b = c,  b ≠ 0	(15x + x) : 4 = 3
76	a = a + x	45 = 45 + x
77	0 = a – х	0 = 45 – х

Где a, b, c  – натуральные числа, обыкновенные или десятичные дроби;

x – корень уравнения.

Заключение

  При выполнении исследовательской работы мне понадобились не только знания, которые имеются у меня, но и была необходимая работа с дополнительной литературой.

  При выполнении исследовательской работы в соответствии с ее целью и задачами я  получил следующие выводы и результаты.

  1. На основе изученной литературы по данной теме, открыл  для себя много интересного и нового об  уравнениях. Например, узнал  о том, что ещё в древности люди пользовались записями, не зная, что это – уравнения. В наше время невозможно представить себе решение различных  задач не только в математике, но и в других  науках, без применения  уравнений.

  2. Я исследовал задачу «Отгадай  число». Выяснил, что в основе задачи лежит уравнение.

  3. Выполненный обзор школьного учебника Н. Я.  Виленкина «Математика 5», показал, что в учебнике встречаются 77 видов уравнений.

  4. Я  подготовил  и разработал  памятку  «Решаем уравнения на 5».

Список  литературы

1. Виленкин, Н. Я.  Математика  /  Н. Я.  Виленкин,  ,  ,  С. И.  Шварцбурд  //  Математика:  учебник  для  5 кл. /  под  редакцией  . – М.: Мнемозина, 2009. – 280 с.

2. Глейзер, Г. И.  История  математики  в  школе  ⁄  ⁄⁄  История  математики  в  школе:  пособие  для  учителей  ⁄  под редакцией . – М.: Просвещение, 1964. – 376 с.

3. Перельман, алгебра / // Занимательная алгебра. – М.: АСТ: Астрель: ХРАНИТЕЛЬ, 2007. – 282 с.

4. www. istorya. ru

5. www. /refs/62/13346/1.html

Направление	точные науки  (математика)
Полное название темы работы	«Отгадай  число»
Тип работы	исследовательская
Фамилия имя автора (-ов)	Федосенко Данил
Школа (класс)	МКОУ «Высотинская СШ», 5 кл.
Руководитель	,  учитель математики
Контактный телефон	8(391)9932281

1 Глейзер, математики в школе ⁄ ⁄⁄ История математики в школе: пособие для учителей ⁄ под редакцией . – М.: Просвещение, 1964. - 142.

2 Перельман, алгебра / // Занимательная алгебра. – М.: АСТ: Астрель: ХРАНИТЕЛЬ, 2007. – 40.