Тема работы: «В царстве чисел-великанов»

МКОУ Бутурлиновская СОШ № 1

Тема работы: «В царстве чисел-великанов».

Рабочая  группа : Бондарев Сергей, Костенко Екатерина, Баутина Виктория

       Проверила:

Оглавление.

Введение.

Литературный обзор.

1. Легенды и быль  о числах-великанах.

2. Название чисел-великанов

  Практическая часть.

Заключение.

Литература.

Приложение.

Введение.

Число - одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности. Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные.… Как только их не называли!

Пифагорейцы считали совершенными числа те, которые равнялись сумме своих собственных делителей, т. е. делителей отличных от самого числа. Например, 6=1+2+3,  28=1+2+4+7+14.
  Числом Шехеризады называют число 1001. Это число известно каждому, кто читал сказки «Тысяча и одна ночь». Число 1001 обладает некоторыми интересными свойствами:
  1. Это самое маленькое натуральное четырёхзначное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел: 1001=103+13
  2. Число 1001 состоит из 77 «злополучных чертовых дюжин» (1001=77*13), из 91 одиннадцати или из 143 семерок.  [2]

3. На свойствах числа 1001 базируется метод определения делимости числа на 7, на 11 и на 13.
Правило. Чтобы узнать, делится ли число на 7 (на 11 и на 13), необходимо от этого числа без последних трех цифр отнять число из трех последних цифр; если эта разность делится 7 (11 или 13), то и заданное число также делится на 7 (11 или 13).

Например, делится ли на 7 число 348 285?

Решение:

348 285=348∙1000+285=348∙1000+348-348+285=348∙1001-(348-285).

Так как 1001 делится на 7, то чтобы 348 285 делилось на 7, достаточно, чтобы на 7 делилась разность 348-285. Так как 348-285=63, то 348 285 делится на 7.
  В своей жизни каждый из нас стакивается с числами. Курс школьной программы, да и дальнейшую жизнь, трудно представить без них – чисел-великанов и чисел-карликов.

Объект исследования – легенда и быль о числах-великанах.

Предмет исследований – название многозначных чисел, простейшие способы подсчета чисел - великанов.

Актуальность темы в том, что математические вычисления с большими числами используются не только во многих областях науки, но и встречаются в повседневной жизни.

Цель работы: показать  влияние  чисел на нашу жизнь, обосновать, что знание свойств чисел позволяют объяснить многие случаи в жизни, явления в природе. 

Задачи исследования:

- Ознакомиться с  особенностями многозначных чисел.

- Освоить некоторые способы  вычисления.

  Методы исследования:

- изучение дополнительной литературы, материалов в Интернете;

- анализ теоретического материала;

- проведение эксперимента,  подсчет результатов.

Литературный обзор.

В книге «Живая математика» есть такие занятные истории.

1. У богача-миллионера произошла в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды.

«Бывают же такие удачи,— рассказывал он домаш­ним.— Неспроста, видно, говорят, что деньга на деньгу набегает. Вот и на мою деньгу денежка бежит. И как неожиданно! Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Мне бы и разговаривать с ним не при­стало, да он сам начал, как проведал, что у меня достаток есть. И такое к концу разговора предложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.

-Сделаем,— говорит,— с тобой такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить — смешно вымолвить — всего только одну копейку, за вторую сотню ты­сяч заплатить 2 копейки. А дальше: за третью сотню тысяч 4 копейки, за четвертую 8, за пятую — 16. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.

И потом что? — спрашиваю. Все,— говорит,- больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор; каждое утро буду носить по сотне тысяч рублей, а ты плати, что сговорено. Рань­ше месяца кончать не смей.

-Сотни тысяч рублей за копейки отдает! Если деньги не фальшивые, то не в полном уме человек. Однако же дело выгодное, упускать не надо. Одного только боюсь: придет ли? Как бы не спохва­тился, что слишком невыгодное дело затеял! Ну, до завтра недолго ждать». Прошел день. Рано утром постучал богачу в окошко тот самый незнакомец, которого он встретил в дороге.

—Деньги готовь,— говорит.— Я свои принес.

И, действительно, войдя в комнату, странный человек стал выкладывать деньги — настоящие, не фальшивые. Отсчитал ровно сто тысяч.

Богач не верил удаче: сто тысяч с неба свалилось! Снова пересчитал деньги, удостоверился хорошенько, что не фальшивые: все правильно. Запрятал деньги подальше и стал ждать завтрашней уплаты.

Явился незнакомец и на третий день — третья сотня тысяч перешла к богачу, за 4 копейки.

Еще день, и таким же манером явилась четвертая сотня тысяч — за 8 копеек.

Пришла и пятая сотня тысяч — за 16 копеек.

Потом шестая за 32 копейки.

Спустя семь дней от начала сделки получил бо­гач уже семьсот тысяч рублей, а уплатил пустяки

1 коп.+2 коп. +4 коп.+8 коп.+16 коп.+32 коп.+64 код.= 1 р. 27 к.

А незнакомец аккуратно являлся каждое утро со сво­ей сотней тысяч. На 8-й день получил он 1 р. 28 к., на 9-й — 2 р. 56 к., на 10-й — 5 р. 12 к., на 11-й —10 p. 24 к., на!2-й - 20 p. 48 к., на 13-й - 40 р. 96 к., на 14-й — 81 р. 92 к.

Богач охотно платил эти деньги: ведь он получил уже один миллион 400 тысяч рублей, а отдал незнакомцу всего  около  полутораста  рублей.

Недолго, однако, длилась радость богача. Спустя 15 дней приходилось за очередные сотни тысяч платить уже не копейки, а сотни рублей, и плата страш­но быстро нарастала. 

Платить приходилось уже больше, чем получать. Тут бы и остановиться, да нельзя ломать договора.

Дальше пошло еще хуже. Слишком поздно убедился миллионер, что незнакомец жестоко перехитрил его и получит куда больше денег, чем сам уплатит...

Начиная с 28-го дня, богач должен был уже платить миллионы. А последние два дня его вконец разорили.

28	1 342 177 р. 28 к.
29	2 684 354 р. 56 к.
30	5 368 709 р. 12 к.

Оказалось,  уплачено было 10 737 418 р. 23 к. за три млн. руб.

Предлагается способ ускоренного подсчета убытков миллионера: 1+2+4+8+16+32+64+…

Существует особенность этих чисел:

1=1

2=1+1

4=(1+2)+1

8=(1+2+4)+1

16=(1+2+4+8)+1

32=(1+2+4+8+16)+1….

Значит каждое число этого ряда равно всем предыдущим, вместе взятым, плюс одна единица. Например, чтобы сложить числа ряда от 1 до 33 678, то прибавим к последнему числу тоже число без единицы. 33 678 + 33 677 = 67 355.

Рассчитаем убыток богача:

5 368 709 р. 12  к. + 5 368 709 р. 11 к. = 10 737 418 р. 23 к. Приложение 1.

2. Городские слухи.

Необычайная быстрота слухов объясняется свойствами чисел.

Например, в город  с 50-тысячным населением в 8 часов приехал житель столицы и привез интересную новость. Сообщил в доме, где остановился, трем жителям новость, это заняло примерно четверть часа. Т. Е. в 81 /4  часа утра новость знали 4 человека. Далее, каждый из трех рассказал трем другим. Это потребовало четверти часа. 4+(3*3)=13 человек.

Каждый из 9 поделился с 3 другими, к  83 /4  часам новость знали 40 чел. 13+(3*9)=40 граждан.

9 часов	40+(3*27)=121 чел
9 1 /4  часа	121+(3*81)=364 чел
9 1 /2  часа	364+(3*243)=1 093 чел
9 3 /4  часа	1 093+(3*729)=3 280 чел
10  часов	3 280+(3*2 187)=9 841 чел
101 /4  часа	9 841+(3*6 561)=29 524 чел

Ранее чем половина 11 дня будет осведомлены все жители большого города.

Подсчет выполнен такой. Сложили ряд чисел:

1+3+(3*3)+ (3*3*3)+ +(3*3*3*3)+ +(3*3*3*3*3)+….

Особенность сложения этих чисел:

1=1

3=1*2+1

9=(1+3)*2+1

27=(1+3+9)*2+1

81=(1+3+9+27)*2+1

32=(1+3+9+27+81)*2+1….

Иначе говоря: каждое число этого ряда равно удвоенной сумме предыдущих чисел плюс единица.

Чтобы найти сумму чисел 1+3+9+27+81=243+729, нужно к числу 729 прибавить половину от 728, т. е.  728+364=1 093.

3. Лавина дешевых велосипедов.

В дореволюционные годы у нас были предприниматели, которые прибегали к довольно оригинальному способу сбывать товар, обычно посредственного качества. Начинали с того, что распространяли в газетах и журналах рекламу:

Велосипед за 10 рублей! Каждый может приобрести в собственность велосипед, затратив только 10 рублей. Пользуйтесь редким случаем. Вместо 50 рублей – 10 руб. Условия покупки высылаются бесплатно.

Немало людей соблазнилось  объявлением  и получили проспект с условием. За 10 руб. высылался не велосипед, а 4 билета, которые нужно были сбыть по 10 руб. 4 знакомым. Собранные 40 руб. следовало отправить фирме и получить велосипед. А обладатель билета обменивал его на 5билетов, т. е он соберет 50 руб., оплатив 10 руб. Новые обладатели также собирают 50 руб. и т. д. На первый взгляд во всем этом нет обмана.

А между тем - это мошенничество. «Лавина» назвали аферу у нас, а французы величали «снежный ком», вовлекала в убыток тех участников, которым не удалось сбыть билеты. Они-то и оплачивали фирме разницу между 50 и 10 рублями. Неизбежно наступает момент, когда держатели билетов не могли найти покупателей.

Подсчеты помогут понять почему.

1*4=20, 20 человек 20*5=100 других вовлекли.

1+4+20+100=125 человек, 25 из них имеют велосипед, 100 надеются.

Сотня последних должны снабдить 500 граждан, те еще 2500 новых жертв.

Числовая пирамида, которая  получается:

1

4

20

100

500

2500

12500

625000.

Если население города 62,5 тысячи человек, то на 8 туре все жители будут втянуты в нее. Пятая часть получили, а остальная часть не может сбыть билеты.

Ясинский охарактеризовал аферу как «лавину взаимного объегоривания». Числовой великан, скрывающийся за этой затеей, наказывает тех, кто не умеет воспользоваться арифметическим расчетом для ограждения своих интересов от посягательств аферистов.

4. Из «Справочника по физике»  мы узнали  названия некоторых чисел – великанов. Приложение 2.

Есть еще один гигант - гугол, содержащий сто нулей. Его предложил

американский математик Эдвард Каснер.

На сегодня гугол  – самое большое поименованное число в России, США, Канаде, Франции и некоторых других странах.

В Великобритании, Германии, Испании есть число больше гугола — это вигин-тиллион, содержащий 120 нулей.[2]

Практические измерения.

Определение осадков. «Осадками»  называется вся выпадающая вода в любом виде: дождя, града, снега. Если воду, запасенную за зиму в виде снега прибавить дождевую воду, то можно узнать, сколько выпадает за год в какой-либо местности.

Методика исследования. Измерить толщину снега линейкой. Чтобы узнать, какой толщины водяной слой получается при таянии  снега, нужно наполнить банку снегом той же рыхлости. Когда растает, измерить высоту слоя воды. Определив сколько получается водяного слоя в (мм.) из каждого (см.) слоя снега, переводим толщину снежного слоя в толщину водяного.  Приложение – презентация.

Измерения.

21 декабря. П. Зун-Мурино. Слой снега 2 см. В банке высота снега 13 см. образовалась вода глубиной 1,8 см.

Вычисления. Из соотношений 13см.  – 1,8см.

  2см.  – h, 

h = 2*1,8/13=0,28 см. Получается из 2 см. слоя снега 2,8 мм водяного слоя.

Я решила узнать, сколько осадков выпало  в моем огороде. Для этого я измерила его длину и ширину огорода (14и 23м), потом вычислила его площадь. Площадь  S = 14*23м = 322 кв. м. Далее определила,  сколько куб. см  воды в на 1 кв. м. огорода V = S*h = 100*100*0,28 = 2800 куб. см. Зная плотность воды с = 1г/cм3 ,  вычислила,  сколько воды выпало на каждый кв. м огорода.  m = с*v = 1*2800 = 2800г = 2,8 кг. Всего в огород выпало m = 2,8*322 = 901,6 кг воды. /около тысячи кг. воды/

Вычислила,  сколько воды выпадает за год на поверхность Земли. Для этого узнала, что поверхность земного шара равна 509 000 000 кв. км. Среднее количество осадков за год равно 78 см. значит на 1 кв. м = 10 000 кв. см земной поверхности выпадает: 78* 10 000= 780 000 куб. см воды. В кв. км = 1 000 000 кв. м, поэтому на него выпадает 780 000 000 000 куб. см.  или 780 000 куб. м.  воды. На всю поверхность  нашей планеты изливается 780 000 000 * 509 000 000 = 397 000 000 000 000 куб.  м. воды. /397 триллион куб. м /

2. В СМИ и в Интернете появилась информация, что возвращается в нашу республику мода на финансовые пирамиды.  Жители нашего села участвуют в этой игре.  Поэтому я  рассчитала, когда рухнет в республике пирамида. Население в Бурятии составляет более  972 тысячи человек.  Будем считать, что могут вложить деньги 600 тыс. человек.

1. 1, привлекает троих и так далее,

3

9

27

81

243

729

2 187

6 561

19 683

39 049

117 147

531 741

1594323

2. 1, привлекает шестерых и далее,

6

36

216

1 296 

7 776

46 656

279 936

1 679 616

Значит,  в первом случае пирамида разрушится на 14  туре. 1/3 часть получит прибыль, 2/3 надеются получить.

А  во втором случае пирамида разрушится на 7 туре.  1/6  часть получит прибыль, 5/6  надеются получить.

Чем больше народу привлекается на первых этапах, чем быстрее рушится пирамида.

Вывод.

Узнала  легенды и были о числах-великанах, название и правило  записи этих чисел. На примерах рассмотрела  быстрое увеличение чисел в виду их особенностей и способы их вычисления.

Заключение.

Проделанная исследовательская работа помогла узнать, что расчет чисел  необходим  в жизни. И  поэтому, наверное,  раньше были придворные математики, а сейчас в любом государстве – экономисты.  Умение сделать расчет, позволит избежать встречи с  людьми, которые прибегают к оригинальным способам сбыть товар или сделать легкие деньги.[2]

Литература.

1. Живая математика. М - Наука. 1978г.

2. В царстве смекалки. М-Наука. 1979г.

1. , За страницами учебника математики: пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. М-Просвещение,1989г.

Приложение 1.

дни	получил	отдавал каждый день
1	100 000	1 к.
2	200 000	2 к.
3	300 000	4 к.
4	400 000	8 к.
5	500 000	16 к.
6	600 000	32 к.
7	700 000	64 к.
8	800 000	1 р. 28 к.
9	900 000	2 р. 56 к.
10	1 000 000	5 р. 12 к.
11	1 100 000	10 р. 24 к.
12	1 200 000	20 р. 48 к.
13	1300 000	40 р. 96 к.
14	1 400 000	81 р. 92 к.
15	1 500 000	163 р.  84 к.
16	1 600 000	327 р. 68 к.
17	1 700 000	655 р. 36 к.
18	1 800 000	1 310 р. 72 к.
19	1 900 000	2 621 р. 44 к.
20	2 000 000	5 242 р. 88 к.
21	2 100 000	10 485 р. 76 к.
22	2 200 000	20 971 р. 52 к.
23	2 300 000	41 943 р. 04 к.
24	2 400 000	83886 р. 08 к.
25	2 500 000	167 772 р. 16 к.
26	2 600 000	335 544 р. 32 к.
27	2 700 000	671 088 р. 64 к.
28	2 800 000	1 342 177 р. 28 к.
29	2 900 000	2 684 354 р. 56 к.
30	3 000 000	5 368 709 р. 12 к.

Уплачено всего: 10 737 418 р. 23 к., а получил 3 000 000 р.

Приложение 2.

Степ ень	название	нули	Запись числа
106	Миллион	6	1 000 000
109	Биллион (миллиард)	9	1 000 000 000
1012	Триллион	12	1 000 000 000 000
1015	Квадриллион	15	1 000 000 000 000 000
1018	Квинтиллион	18	1 000 000 000 000 000 000
1021	Секстиллион	21	1 000 000 000 000 000 000 000
1024	Септиллион	24	1 000 000 000 000 000 000 000 000
1027	Октиллион	27	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000
1030	Дециллион	30	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
1063	Вигинтиллион	63	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Гугол – сто нулей.

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Вигин-тиллион – 120 нулей.