Элементы высшей математики

Тема:Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Данный открытый урок был разработан для студентов 2 курса, учитывая основные положения коллективного способа обучения, объяснительно-иллюстративной технологии, технологии взаимного обучения и ИКТ.

Оглавление



Пояснительная записка Содержание основной части Библиографический список Приложения.

Пояснительная записка

Цели:

рассмотреть разные способы вычисления площадей плоских фигур;

научитьприменять определённый интеграл для решения практических задач;

развивать умение самостоятельно собирать информацию, планировать, принимать решение, выполнять, проверять и оценивать проделанную работу.

Обоснование выбранной темы и технологии проведения:

Урок по теме «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»  является  логическим продолжением темы « Определенный интеграл».  Для освоения данной темы студенты должны хорошо владеть понятием «Определенный интеграл» и уметь находиться его, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Раздел «Интегральное исчисление» является одним из самых сложных для изучения разделов математики. Это обусловлено сложностью самого материала, слабо сформированной школьной базой по данному вопросу и ограниченным количеством времени на его изучение на первом и, особенно на втором курсах. На данном уроке студенты изучают новый материал по схеме «полного действия»: информирование, планирование, решение, выполнение, контроль, оценка. Кроме того они учатся применять знания при решении конкретных практических задач. На  уроке  использовались  различные  формы  работы групповая, индивидуальная, фронтальная.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Ход занятия сопровождается демонстрацией слайдов по каждому этапному моменту урока.

Содержание основной части

План занятия  №

По дисциплине: Элементы высшей  математики

Дата:  28.03

Тема: Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Группа: 23 пв

Цели:

Образовательная:  рассмотрение разных способов вычисления площади плоских фигур; уметь применять определённый интеграл для решения практических задач

Развивающая: развивать мышление студентов, умение формулировать проблему исследуемой задачи, планировать свою деятельность, умение выделять существенные этапы работы, принимать решения.

Воспитательная: воспитывать умение работать в коллективе, воспитывать познавательную активность, ответственное отношение к учебному труду,  доброжелательное отношение  друг к другу.

Задачи:математическое  моделирование задачи,

построение  алгоритма решения;

решение типичных задач по данной теме;

отработка навыков вычислительной культуры;

выполнениеумственных операции: обобщение, сравнение, анализ, вывод.

Видзанятия:  урок

Тип занятия: урокизученияновогоматериала

Средства обучения:  учебники, компьютер, проектор, 

раздаточный  материал, презентации.

Методы проведения: беседа, выполнение  тестовых заданий, решение задач.

Формы работы:  групповая, индивидуальная

Внутрипредметные связи: функции и графики, алгебраические уравнения.


Содержание занятия

Действия преподавателя

Действия студентов

Компоненты формируемых компетенций

1.Организационный момент.

2. Сообщение темы, формирование целей. Постановка дидактической задачи.

- приветствует студентов;

- проверяет готовность группы к занятию;

- отмечает отсутствующих;

-  сообщает тему занятия;

- проводит беседу, знакомит с планом урока;

-  выдает опережающую задачу с практическим содержанием;

- формулирует цели.

- приветствуют преподавателя;

- слушают, записывают;

-слушают, отвечают на вопросы

- анализируют задачу

- знакомятся с целями урока

- организация  собственной  деятельности,

- осуществление  поиска и  использование информации, необходимой для эффективного выполнения задач,

- уметь принимать решения в стандартных и нестандартных

ситуациях.

- выбор типовых методов и способов выполнения  задач, оценка их эффективности и качества.

- умение работать в коллективе

3.  Изучение нового материала

- информирование

( нахождение материала, необходимого для решения дидактической задачи)

- планирование (определение дальнейшего хода действий для решения дидактической задачи)

-выполнение, контроль и оценка (решение задач тренировочных и дидактической с последующей проверкой )

- нацеливает на результат первого этапа работы;

- контролирует работу студентов, при необходимости консультирует;

-помогает в составлении планирования, контролирует и направляет работу студентов;

- ставит вопрос о последовательности действий для решения задач на вычисления площадей;

- выдает тестовое задание; 

- выдает задания для индивидуальной работы;

-выдает задание «Найди ошибку»;

- нацеливает на решение  задачи с практическим содержанием;

- направляет работу студентов;

-помогает студентам выделять главное, анализировать, сравнивать, находить общее и отличное, делать выводы;

- слушают, анализируют;

- читают, собирают информацию (индивидуальная работа с учебником, информационными листами);

- планируют свои действий при решении дидактической задачи,

заполняют листы планирования;

- составляют алгоритм решения задач, проверяют его по эталону, заполняют листы контроля;

-выполняют тестовые задания;

осуществляют самопроверку по эталону, заполняют листы контроля;

-выполняют индивидуальные задания, согласно составленному алгоритму; осуществляют взаимопроверку, заполняют листы контроля;

-проверяют предложенные решения, исправляют ошибки, представляют решение на доске,

заполняют листы контроля:

- решают задачи;

- осуществляют самопроверку по эталону, заполняют листы контроля;

- анализируют и делают выводы.

4. Подведение итогов занятия.

( Этап оценивания)

- подводит итоги;

- выставляют и  комментирует

оценки;

- слушают;

-переводят полученных баллов в оценку;

5. Задание для самостоятельной работы во внеаудиторное время.

- сообщает задание;  инструктирует  его

выполнение; 

- записывают;

- задают вопросы;

6. Рефлексия.

- проводит рефлексию

- осознают результаты  своей  деятельности.


Библиографический список

       

Богомолов, : Учебник для  ссузов /
Богомолов, задач по математике [Текст]:учеб. Пособие для  ссузов / . – 5-е изд., - М.: Дрофа, 2009. – 204 с.
, Сборник задач по математике для техников–программистов. М., Высшая школа, 1999. Курс высшей математики. Учебник / Под ред. . – М.: ПБОЮЛ , 2002. Электронный ресурс – режим доступа: http://knowledge. allbest. ru/mathematics

Приложения

Информационный лист

по теме « Применение интеграла при вычислении площадей плоских фигур»

Вы уже решали различные примеры по вычислению определённого интеграла.

Вспомни!

Чтобы вычислить определённый интеграл, нужно найти неопределённый интеграл и подставить пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница: , где F(x) – первообразная для функции  f(x).

Например,


Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция, ограничена графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b

Площадь плоской фигуры

Фигура ограничена графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b

Фигура, ограничена функцией, меняющей знак на промежутке [a;b]

Если фигура расположена симметрично относительно оси координат или начала координат, то можно определить половину площади и затем удвоить результат

Фигура ограничена графиками непрерывных на [a;b] функций у =f(x) и у = g(x), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и b (а <b), причем и f(x)>g(x) на всем интервале (а; b).

S=

Фигура ограничена графиками непрерывных, положительных [a;b] функций у=f(x) и у = g(x), графики которых пересекаются в точке с абсциссой с

(а <с <b).



Пример

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х2+1; у = - х2+4х +1.

Построим графики указанных функций в одной системе координат

Найдем пределы интегрирования - абсциссы точек пересечения графиков А и В.

Для этого решим уравнение: х2+1= - х2+4х +1

2х2-4х =0        

х(х-2)=0

x=0 или х=2.

Площадь искомой фигуры равна разности двух определённых интегралов на промежутке [0;2]. S= = = (+8)= =2 (кв. ед.) Ответ: 2 кв. единиц.

Успехов при изучении данной темы!

Карточки  для работы дома

Задание: найти площадь фигуры, изображённой на рисунке.

Справочный материал

Основные формулы интегрирования (таблица интегралов):

;  2)  ;

3), (n);  4)  ;

5);  6) ;

7)  8)

Функции и графики

Графиком квадратичной функции является парабола.

Для ее построения нужно:

-определить направление ветвей

- координаты вершины параболы (-b/2a; у0)

- точки пересечения с осью ОХ по формулам

Значение логарифмической функции

Лист-планирование

  Вам необходимо научиться решать задачи на вычисление площадей плоских фигур при помощи определённого интеграла. Спланируйте свои действия в соответствии с целями урока. Как вы действуете?




Выполнение и контроль

Задание 1

Алгоритм действий при вычислении площадей плоских фигур

Задание 2.

Тест

1.  По какой формуле нужно вычислить площадь фигуры?

а) ;        б);        в) ;        г)

2.  (Рис. 2) Найти неизвестное значение х

а) 1;                        б) 2;                        в) 3;                        г) 4

3.  (Рис. 2) По какой формуле нужно вычислить площадь фигуры?

а) ;        б) ;        в) ;        г)

4. (Рис. 3) По какой формуле нужно вычислить площадь фигуры?

а) ;                б) ;        в)  -;        г)

5.  (Рис. 4) По какой формуле нужно вычислить площадь фигуры?

а) ;        б) ;        в) ;        г)


Фамилия, имя учащихся

Баллы

Оценка

Задание 1

алгоритм

Задание 2

тест

Задание

3

Индиви-

дуальная задача

Задание 4

Найди ошибку

Задание 5

Практическая задача

Всего

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ

Баллы

Задания

1

Алгоритм

2

тест

3 Индивидуальная работа

4

Найди ошибку

5

Задача

2

Полное соответствие эталону

Все ответы верны

Задача решена верно

Найдена и исправлена ошибка

Задача решена правильно

1

Ошибки в формулировке этапов последовательности действий

Верно выполнены 3 или 4 задания

Допущена вычислительная ошибка, но верно использована формула

Ошибка найдена, но не исправлена

Алгоритм решения задачи верный, но допущена вычислительная ошибка

0

Последовательность действий определена неправильно

Менее трех правильных ответов

Задача совсем решена неверно

Ошибка не найдена

Задача решена неправильно

Задача

Перед зданием школы решено разбить клумбу. Но по форме клумба не должна быть круглой, квадратной или прямоугольной. Она должна содержать в себе прямые и кривые линии. Пусть она будет плоской фигурой, ограниченной линиями Y = 4/X + 2; X = 4; Y = 6.

Необходимо ещё подсчитать сколько денег можно получить за вскапывание этой клумбы, если за каждый м2 выплачивается 50 руб.?

Индивидуальное задание

Вычислить площадь земельного участка ограниченного графиком функции:

1)  у = 3х2 и прямыми  х=1,  х=2,  у=0 

2)  у= 2х  , прямыми  х=2,  х=3 и отрезком оси Ох от 2 до 3. 

3) у=х3 прямыми  х=2 и у=0. 

4) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями  y = –x2 + 9 и прямой  у=0.

5)  Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями  у= х2 и у= - х+2.

«Найди ошибку»

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  y=x-1, y=-x2+6x-5 и у=0.

Построим графики указанных функций в одной системе координат.

  Площадь искомой фигуры равна сумме площадей двух криволинейных трапеций, а значит сумме двух определённых интегралов на промежутке [1;4].

S1+S2=9+2.5=11.5

«Найди ошибку»

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  y=x-1, y=-x2+6x-5.

Построим графики указанных функций в одной системе координат.

Применим формулу S=

По рисунку  а= 1  b= 4

S=│-31,5│=31.5

«Найди ошибку»

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  y=x+1, y=x2-6x+11.

Построим графики указанных функций в одной системе координат.

Найдём пределы интегрирования  по графику a=1 b=5 .

S=, где f(x)= x2-6x+11  g(x)= x+1