Лекция № 1 числа и вычисления

Лекция № 1  числа и вычисления.

Цель: обобщить и систематизировать знания о действительных числах; совершенствовать навыки решения задач, повторить терминологию и символику; совершенствовать умения соотносить числа с координатной прямой, навыки представления действительных чисел бесконечными десятичными дробями, совершенствовать навыки сравнения и упорядочивания действительных чисел;

Ожидаемые результаты:

  Учащиеся должны уметь:

уметь выполнять действия с числами: действия с дробями. выполнять арифметические действия с рациональными числами. находить значения числовых выражений

Ход урока

а) повторить известные термины – натуральные, целые, рациональные, действительные числа;

б) рассмотреть отношения между соответствующими числовыми множествами;

в) ввести понятие бесконечной десятичной дроби как универсального имени действительного.

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается N; N = {0, 1, 2, 3, …}.

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются

Z = {–2, –1, 0, 1, 2, …}.

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n ≠ 0), где m — целое число, а n — натуральное число.

Для рациональных чисел определены четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль).

Для обозначения рациональных чисел используется знак Q.

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел. Множество вещественных чисел обозначается R.

Кроме рациональных чисел, R включает множество иррациональных чисел, не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим.

Иррациональные числа.

1) любое рациональное число изображается бесконечной десятичной дробью;

2) всякое иррациональное число изображается бесконечной десятичной дробью;

3) любое действительное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби;

4) всякая бесконечная десятичная дробь представляет действительное число (обратное утверждение).

Обозначение (имя)	Что означает имя
N	Множество натуральных чисел
Z	Множество целых чисел
Q	Множество рациональных чисел
R	Множество действительных чисел

Свойства сложения и умножения:

;

;
;
;

определение арифметического квадратного корня

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

основные свойства квадратного корня

1) ()2= а, ≥ 0.

2) = .

3) >, если а>в>0.

4) =, если а≥ 0,в ≥ 0

5) =, если а≥ 0, в>0.

применение этих свойств на самых простых примерах

1) Упростите:

а) Решение: .

б) Решение: =.

в) Решение: =

г) Решение:

2) Внеси множитель под знак корня:

а) Решение:

б) Решение:

3) Вынеси множитель из-под знака корня:

Решение:

1). Преобразуйте данное выражение:

(иррац.).

(иррац.).

(1 – 2)2 = 1 – 4 + 20 = 21 – 4 (иррац.).

(рац.).

2). Принадлежит ли отрезку [1,57; 1,58] число:

1,57001 [1,57; 1,58]; 1,581 [1,57; 1,58]; 1 [1,57; 1,58],  1 ≈ 1,571… [1,57; 1,58],  ≈ 1,7.

3). Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) .

4). Выберите из чисел:

0,57; –; ; ; 5; 1 –; ; ; –18

а) положительные рациональные числа;

б) иррациональные числа;

в) отрицательные числа.

5). Запишите на символическом языке следующие утверждения:

– действительное число;

0,03 – рациональное число;

–400 – не является натуральным числом;

24 – целое число;

р – не является рациональным числом.

6). Запишите и сравните пары чисел:

1,411;                          0,777;

1,731;                         0,555;

–р  –3,214;                 1,566.

7). Запишите числа и расположите их в порядке возрастания:

; 0,751; 0,7501; 0,750101.

8). На рисунке изображены графики функций вида у = kx + b.

Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов k и b.

а) k > 0, b > 0;                        б) k > 0, b < 0;                в) k < 0, b > 0.

1)                2)        3)

9). Найдите значение выражения.

при a = 3,4; b = –5,4.

Решение. = 2 (3,4 – 5,4) = 2 · (–2) = –4.

при х = .

Решение.

= 1 – 3х = 1 + 2 = 3.

3) при a = 7, b = –2,5.

Решение. .

10). Преобразуйте дроби:

Самостоятельно:

1. Вычислите значение каждого из данных выражений и укажите, какие из них относятся к отрицательным рациональным числам; к положительным иррациональным числам:

а) –2 · 30 – 17 · 0,2;

б) ;

в) .

2. Найдите значения выражений при указанных значениях букв. Укажите, есть ли среди ответов натуральные числа; отрицательные иррациональные числа:

а) –2а2 + b2 при а =, b =;

б) ab – ac при а = 0,7, b = 1,4, с = –0,6;

в) – при а = 4,5.

Вопросы для повторения:

определение рационального числа; примеры рациональных чисел; любое натуральное число есть рациональное; любое целое число (десятичная дробь, обыкновенная дробь, смешанное число) есть число рациональное; сумма, разность и произведение рациональных чисел есть число рациональное; частное рациональных чисел, когда делитель отличен от нуля, есть число рациональное; любое рациональное число можно записать в виде десятичной дроби или в виде периодической дроби. арифметический квадратный корень и его свойства.

ответ присылаем только для приложения к лекции!