Билет 1

Билет 1 Задачи по теме «Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции» Прямая па­рал­лель­на касательной к гра­фи­ку функции  . Най­ди­те абсциссу точки касания. Касательная, проведенная к графику функции в некоторой точке, образует с положительным направлением оси угол 1350. а) Найдите координаты точки касания; б) составьте уравнение касательной.

Билет 2 Задачи по теме «Тригонометрические уравнения» Найдите ко­рень уравнения: . В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный корень. а) Ре­ши­те урав­не­ние .   б) Най­ди­те все корни этого уравнения, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку .

Билет 3 Задачи по теме «Правильная призма» Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы. Высота правильной четырехугольной призмы равна 1 дм, а площадь боковой поверхности равна 16. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через диагональ нижнего основания, и противолежащую вершину верхнего основания.

Билет 4 Задачи по теме «Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы» Определите промежутки монотонности и экстремумы функции . Проведите исследование и постройте график функции .

Билет 5 Задачи по теме «Пирамида» Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 и 8 см. Высота пирамиды равна 12 см и проходит через пересечения диагоналей основания. Найдите боковые ребра пирамиды. Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 450. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет 6 Задачи по теме «Физический и геометрический смысл производной» Тело движется по закону . Определите скорость и ускорение тела в момент времени t = 2. Напишите уравнение общей касательной к параболам и .

Билет 7 Задачи по теме «Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений» Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . Турист идет из пункта А, находящегося на шоссе, в пункт В, расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от А до В по прямой равно 17 км. На каком расстоянии от А туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт В, если его скорость по шоссе равна 5 км/ч, а по бездорожью – 3 км/ч?

Билет 8 Задачи по теме «Параллельные плоскости» Через точку О, расположенную между параллельными плоскостями и , проведены две прямые, которые пересекают плоскости в точках А и А1, В и В1. Как расположены прямые АВ и А1В1?  (Ответ поясните). Вычислите длину отрезка А1В1, если АВ =18 см, АО : ОА1 = 3 : 5. Ребро куба равно 24 см. Точка K – середина ребра . Через точку K проведена плоскость б, параллельная плоскости . Постройте сечение куба плоскостью б. Вычислите площадь сечения.

Билет 9 Задачи по теме «Преобразование тригонометрических выражений» Дано: . Найдите Дано: Найдите .

Билет 10 Задачи по теме «Параллельность прямых и плоскостей» Точка М лежит на отрезке АВ. Отрезок АВ пересекается с плоскостью в точке В. Через А и М проведены параллельные прямые, пересекающие в точках. а) Докажите, что А1,М1 и В лежат на одной прямой. б) Найдите длину отрезка АВ, если АА1 : ММ1 = 3 : 2, АМ = 6. Точка М не лежит в плоскости параллелограмма АВСD. На отрезке АМ выбрана точка Е так, что МЕ : ЕА = 2 : 3. а) Постройте точку F – точку пересечения прямой МВ с плоскостью CDE. б) Найдите АВ, если EF = 10 см.

Билет 11 Задачи по теме «Формулы  и правила дифференцирования» Решите неравенство , если и . Решите неравенство .

Билет 12 Задачи по теме «Простейшие тригонометрические неравенства» Решите неравенство . Решите неравенство .

Билет 13 Задачи по теме «Угол между прямой и плоскостью» В правильной четырехугольной пирамиде апофема, равная 12 см, образует с плоскостью основания угол 60є. Найдите высоту пирамиды. Из точки А, удаленной от плоскости на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 300 к плоскости. Их проекции на плоскость образуют угол 1200. Найдите ВС.

Билет 14 Задачи по теме «Правильная пирамида» Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 450. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Найдите площадь боковой  поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона основания равна a, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведенного через вершину основания.

Билет 15 Задачи по теме «Модуль действительного числа» Найдите все действительные числа x, для каждого из которых справедливо неравенство: а) ; б) . При каком значении a графики функций  и имеют бесконечное множество общих точек?

Билет 16 Задачи по теме «Расстояния от точки до прямых и плоскостей» Точка М удалена от каждой вершины квадрата на 10 дм. Вычислите расстояние от точки М до плоскости квадрата, если его сторона равна дм. Стороны треугольника равны 7 см,  24 см и 25 см. Точка М удалена от каждой его стороны на 5 см. Вычислите расстояние от точки М до плоскости этого треугольника.

Билет 17 Задачи по теме «Угол между плоскостями» В тетраэдре все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что ∠DMB – линейный угол двугранного угла BACD. Сторона ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы равна 3, а диа­го­наль бо­ко­вой грани равна 5. Най­ди­те угол между плос­ко­стью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния призмы.

Билет 18 Задачи по теме «Призма» В основании прямой призмы АВС лежит прямоугольный треугольник АСВ (∠С = 900); АС = 4; ВС = 3. Через сторону АС и вершину В1 проведена плоскость. ∠В1АС = 600. Найдите площадь боковой поверхности призмы. В прямом параллелепипеде АВСD А1В1С1D1  AB = 1; BC = 7; ∠ABC = 1500. Через диагональ АС и вершину В1 проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 600. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Билет 19 Задачи по теме «Прямоугольный параллелепипед» Три ребра параллелепипеда, имеющие общую вершину равны 2 м, 3 м и 5 м, а одна из диагоналей равна 6 м. Является ли этот параллелепипед прямоугольным? Дан куб ABCDA1B1C1D1. Диагональ АС1 равна .Найдите периметр сечения куба плоскостью РТН, где точки Р, Т и Н – середины ребер ВС, ВВ1 и АВ соответственно.

Билет 20 Задачи по теме «Свойства функций: монотонность, чётность и нечётность, периодичность, ограниченность, выпуклость» Постройте график данной периодической функции и укажите область её определения, область значений, промежутки монотонности, точки экстремума, наибольшее и наименьшее значения, нули функции, промежутки знакопостоянства, исследуйте функцию на четность-нечетность, если  период функции равен 2 и задана на промежутке . Известно, что – периодическая функция с периодом 5 и . Решить: а) уравнение ; б) неравенство .

Билет 21 Задачи по теме «Перпендикуляр и наклонная к плоскости» Из точки К проведены к плоскости перпендикуляр КО и наклонные КА и КВ. Длины наклонных соответственно равны 13 см и 20 см. Проекция наклонной АК равна 5 см. Вычислите длину проекции наклонной КВ. Треугольник АВС равносторонний, сторона АВ наклонена под углом 450 к плоскости . Под каким углом наклонена плоскость к плоскости ?