Диагностическая работа №3 (март 2015)

Диагностическая работа №3 (март 2015)

Вариант 5

Часть 1

№ задания	Ответ	Другие варианты ответов
1	0,33
2	1
3	1
4	0; -6	-6;0
5	312
6	39
7	2,6
8	3
9	122
10	36,5
11	20
12	46
13	23	32
14	1
15	755
16	430
17	18
18	24	42
19	0,98
20	25

Часть 2

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

21

Решите систему уравнений

Решение.

Сложив два уравнения системы, получаем , откуда или .

При получаем .

При получаем .

Решения системы уравнений: и .

Ответ: ; .

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
2	Преобразования выполнены верно, получен верный ответ
1	Решение доведено до конца, но допущена ошибка или описка вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2	Максимальный балл

22

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 86 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.

Скорость сближения пешехода и поезда равна км/ч. Заметим, что 1 м/c равен 3,6 км/ч. Значит, длина поезда в метрах равна

Ответ: 400 м.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
3	Ход решения задачи верный, получен верный ответ
2	Ход решения правильный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка или описка вычислительного характера
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
3	Максимальный балл

23

Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Значение выражения неотрицательно при и , а при и значение этого выражения отрицательно.

Построим график функции при и и график функции при и .

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при и .

Ответ: ; 1.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
4	График построен верно, верно найдены искомые значения параметра
3	График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
4	Максимальный балл

24

Высота ромба делит сторону на отрезки и . Найдите высоту ромба.

Решение.

Поскольку — ромб, .

Треугольник прямоугольный, поэтому:

.

Ответ: 9.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
2	Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ
1	Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но допущена одна вычислительная ошибка
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2	Максимальный балл

25

В треугольнике с тупым углом проведены высоты и . Докажите, что треугольники и подобны.

Доказательство.

Поскольку угол тупой, основания высот будут лежать на продолжениях сторон. Так как диагонали четырёхугольника пересекаются, он выпуклый, а поскольку , около него можно описать окружность.

Тогда как вписанные углы, опирающиеся на дугу , а как вписанные углы, опирающиеся на дугу . Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
2	Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ
1	Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
2	Максимальный балл

26

Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

Решение.

Пусть диагонали и трапеции с основаниями , пересекаются в точке , а прямая, параллельная основаниям и проходящая через точку , пересекает боковые стороны и в точках и соответственно (см. рис.).

Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом , поэтому треугольник подобен треугольнику с коэффициентом . Значит, . Аналогично, . Следовательно, .

Пусть и — высоты подобных треугольников и , проведённые из общей вершины . Тогда . Следовательно,

.

Ответ: 5:27.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
4	Ход решения задачи верный, получен верный ответ
3	Ход решения правильный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка или описка вычислительного характера
0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
4	Максимальный балл