ВАРИАНТ 2

Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конечная десятичная дробь.

Часть 1

Задание 1. Выпускники 11а класса покупают букеты цветов для последнего звонка: из 3 роз каждому учителю и из 7 роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 17 учителям (включая директора и классного руководителя), розы покупаются по оптовой цене 35 рублей за штуку. Сколько рублей стоят все розы?

Задание 2. На рисунке жирными точками показана цена олова на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 3 по 18 сентября 2007 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали ‑ цена тонны олова в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена олова на момент закрытия торгов была наибольшей за данный период.

Задание 3. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см Ч 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Задание 4. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 3 белых, 11 синих и 6 серых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет белое такси.

Задание 5. Найдите корень уравнения: . Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите больший из них.

Задание 6. В треугольнике , ‑ высота, , . Найдите .

Задание 7. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Задание 8. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 48. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

Часть 2

Задание 9. Найдите значение выражения .

Задание 10. При нормальном падении света с длиной волны нм на дифракционную решетку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом острый угол (отсчитываемый от перпендикуляра к решетке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением . Под каким минимальным углом (в градусах) можно наблюдать третий максимум на решетке с периодом, не превосходящим 2400 нм?

Задание 11. Заказ на 380 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?

Задание 12. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .


Для заданий 13-19 запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а затем полное и обоснованное решение. Решение и ответы записывайте четко и разборчиво.

Задание 13. а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Задание 14. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 16. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

Задание 15. Решите неравенство: .

Задание 16. Точка О ‑ центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.

а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.

б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 5 и 15 соответственно, а OK = 8.

Задание 17. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» ‑ увеличивает на 11 % в течение каждого из первых двух лет, а за третий год – на n%. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».

Задание 18. При каких значениях параметра система

имеет решения?

Задание 19. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 12?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?

в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

ВАРИАНТ 3

Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конечная десятичная дробь.

Часть 1

Задание 1. Диагональ экрана телевизора равна 113 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах, если в одном дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

Задание 2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали ‑ значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 9 августа. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Задание 3. Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.

Задание 4. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Задание 5. Решите уравнение .

Задание 6. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 32, её большая боковая сторона равна 9. Найдите радиус окружности.

Задание 7. На рисунке изображен график функции ,определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Задание 8. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30°, 30° и 45° с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Часть 2

Задание 9. Найдите значение выражения , если .

Задание 10. Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полета мячика, выраженная в метрах, определяется формулой , где м/с ‑ начальная скорость мячика, а ‑ ускорение свободного падения (считайте м/с). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 0,6 м выше ее на 1 м?

Задание 11. Смешали некоторое количество 19-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 13-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Задание 12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .


Для заданий 13-19 запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а затем полное и обоснованное решение. Решение и ответы записывайте четко и разборчиво.

Задание 13. а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Задание 14. В правильной треугольной призме ABCA'B'C' стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A'C'. Найдите его площадь.

Задание 15. Решите неравенство: .

Задание 16. В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E ‑ на отрезке AB.

а) Докажите, что FH=2DH.

б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB=2.

Задание 17. В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х% годовых, тогда как в январе 2001 года ‑ у% годовых, причем известно, что x+y=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, после года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Задание 18. Найдите все значения a, при которых уравнение

.

имеет ровно два различных корня.

Задание 19. В игре «Дротики» есть 20 наружных секторов, пронумерованных от 1 до 20 и два центральных сектора. При попадании в наружный сектор игрок получает количество очков, совпадающее с номером сектора, а за попадание в центральные сектора он получает 25 или 50 очков соответственно. В каждом из наружных секторов есть области удвоения и утроения, которые, соответственно, удваивают или утраивают номинал сектора. Так, например, попадание в сектор 10 (не в зоны удвоения и утроения) дает 10 очков, в зону удвоения сектора ‑ 20 очков, в зону утроения ‑ 30 очков.

а) Может ли игрок тремя бросками набрать ровно 167 очков?

б) Может ли игрок шестью бросками набрать ровно 356 очков?

в) С помощью какого наименьшего количества бросков, игрок может набрать ровно 1001 очко?

ВАРИАНТ 1

Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конечная десятичная дробь.

Часть 1

Задание 1. Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 60 миль в час? Ответ округлите до целого числа.

Задание 2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали ‑ количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в Томске впервые выпало ровно 1,5 миллиметра осадков.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1Ч1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

Задание 4. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся Т. верно решит больше 8 задач, равна 0,76. Вероятность того, что Т. верно решит больше 7 задач, равна 0,88. Найдите вероятность того, что Т. верно решит ровно 8 задач.

Задание 5. Решите уравнение .

Задание 6. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .

Задание 7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Задание 8. Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Часть 2

Задание 9. Найдите значение , если и .

Задание 10. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полета камня описывается формулой , где , ‑ постоянные параметры, (м) — смещение камня по горизонтали, (м) ‑ высота камня над землей. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 19 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на вы соте не менее 1 метра?

Задание 11. Первый насос наполняет бак за 19 минут, второй ‑ за 57 минут, а третий ‑ за 1 час 16 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Задание 12. Найдите точку максимума функции .


Для заданий 13-19 запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а затем полное и обоснованное решение. Решение и ответы записывайте четко и разборчиво.

Задание 13. Дано уравнение .

а) Решите данное уравнение.

б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку .

Задание 14. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна . Точка K ‑ середина ребра BB1. Через точки K и С1 проведена плоскость б, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью б является равнобедренным треугольником.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью б.

Задание 15. Решите неравенство: .

Задание 16. Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.

а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.

Задание 17. 31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2592000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4392000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?

Задание 18. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система

имеет ровно 4 решения.

Задание 19. Дана последовательность натуральных чисел, причём каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 6 раз. Сумма всех членов последовательности равна 257.

а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?

б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой последовательности?