Элементарные и опорные задачи по теме «Треугольники»
Какой бы путь решения не был выбран, успешность его использования зависит, естественно, от знания теорем и умения их применять.
В теоретическую часть школьного курса геометрии включены в основном теоремы, работающие на сам этот курс, необходимые для дальнейшего развития. Многие теоремы, областью приложения которых является задачи, а не теория, из курса исключены. В связи с этим возникает необходимость возникает необходимость в выделении некоторого количества, так называемых, опорных задач, дополнительных к курсу теории. Учащийся большей частью заняты изучением конкретной темы и решением задач по этой теме. Времени на то, чтобы порешать задачи по всему курсу геометрии в целом, практически не остается.
В отличие от школьного курса предлагаемая последовательность изучения задачного материала определяется не тематикой и соответствием порядку изложения в учебнике, а уровнем сложности задач и степенью их стандартности.
Треугольники.
Произвольный треугольник (а, в, с – стороны; α,β,γ - противолежащие им углы, р – полупериметр, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, S – площадь, ha – высота, проведенная к стороне а)
(1); 
(2);
(3); 
(4); 
(5);
а2=в2+с2-2вс cosα (теорема косинусов) (6);
(теорема синусов) (7)
8) три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
9) Длина медианы треугольника выражается формулой: ma=
10) Длина стороны треугольника выражается формулой: а=
11) Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
12) Длина биссектрисы треугольника выражается формулой: 
13) Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон а, в, с по формуле 
14) Для всякого треугольника зависимость между его высотами ha, hb, hc и радиусом r вписанной окружности выражается формулой:
15) пусть известны длины двух сторон в и с треугольника АВС, и угол А, образуемый ими, тогда длина биссектрисы AD треугольника, проведенной из вершины этого угла выражается формулой
16) Определение вида треугольника по его сторонам (а, в,с – стороны, с – наибольшая)
а) если с2<а2+в2, то треугольник остроугольный;
б) если с2=а2+в2, то треугольник прямоугольный;
б) если с2>а2+в2, то треугольник тупоугольный.
Надо научить школьников решать базисные задачи, т. е. которые входят как составные элементы во многие другие задачи.
Задача: стороны треугольника равны а, в, с. Вычислить медиану mс, проведенную к стороне С.
Решение.
Удвоим медиану, достроив ∆АВС до параллелограмма АСВР и применим к этому параллелограмму теорему: d12 + d2 2= 2а2 + 2в2, получим:
СР2 + АВ2 = 2АС2 + 2ВС2, т. е. (2mс)2 + С2 = 2в2 + 2а2 
Замечание: при решении часто приходится делать дополнительные построения:
а) Проведение прямой, параллельной или перпендикулярной одной из имеющихся на рисунке.
б) удвоение медианы треугольника, чтобы достроить треугольник до параллелограмма.
в) проведение вспомогательной биссектрисы. и т. д.
Задача: В треугольнике АВС стороны АВ и ВC равны, ВН – высота. На стороне ВC взята точка D так, что ВD/ CD =
. В каком отношении отрезок AD делит высоту ВН?
Замечание: Если в задаче требуется найти отношение каких-либо величин, то, как правило, она решается методом вспомогательного параметра. В начале решения задачи какая-либо величина принимается как известная; обозначив ее, например, буквой а, выражают через а те величины, отношения которых требуется найти. Тогда при составлении искомого отношения вспомогательный параметр а сократится.
Решение.
Пусть BD = а, тогда CD = 4a, АВ = 5а. Проведем НК॥ AD, т. к. НК – средняя линия треугольника ADC, то DK =KC=2a. ∆ВНК. Имеем: BD=a, DK = 2a, МD॥НК, По теореме Фалеса:
, но 
, значит 
Задача: Определите вид треугольника и найдите косинус наибольшего угла треугольника, если его стороны равны: а) 6, 7, 9, б) 7, 24, 25, в) 23, 25, 34.
Решение.
а)92=81
62+72=36+49=85
92>72 
остроугольный треугольник cosα = 
б) прямоугольный, т. к. 252=72+242
в) тупоугольный, т. к. cosα = -
Задача: В треугольник со сторонами 10, 17, 21 см. вписан прямоугольник так, что две его вершины на одной стороне треугольника, а две другие – на двух других сторонах треугольника. Найти стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 22,5 см.
Решение.
Можно ли вписать прямоугольник и как?
Определим вид треугольника: 102 = 100, 172 = 289, 212 = 441.212>102 + 172 => треугольный, а, значит, вписать в него прямоугольник можно только одним способом – расположить две вершины на большей стороне.
Найдем HB.hb =
HB=
= 8(см)
∆BEF ~ ∆ABC, значит, 
(отношение соответственных высот равно коэффициенту подобия) 
; х=6.
Стороны прямоугольника 6 см. и 5,25 см.
Задача: В треугольнике АВС известно, что угол АСВ, сторона ВС на 2 см. больше стороны АВ, а Ас = 5см. Найти АС и АВ?
Решение.
Проведем биссектрису АD угла САВ, получим, что ∠ ВАD= ∠DAC = ∠ACB. ∆АDC – равнобедренный => AD = DC. Пусть АВ = х, AD=DC=y, тогда ВС = х + 2, BD = х + 2 – у. ∆ ADB ~ ∆ABC, т. к. ∠В – общий, ∠BAD=∠BCA 
, 
.
или 
5y-10 = 2y,
3y=10
y=
; 3x=2x+4; x=4
Ответ: АВ = 4см, ВС = 6см.
Замечание:
Если ∆АВС~∆DEF, то выполните следующее:
Загоните стороны одного треугольника в числители:
Задачи для самостоятельного решения.
определите вид треугольника (задача решена) В треугольнике АВС отрезок, соединяющий середины АВ и ВС, равен 3, стороны АВ = 7, угол С = 600. Найти сторону ВС. В треугольнике АВС известны стороны АС = 2, АВ = 3, ВС = 4. Пусть BD – высота этого треугольника ( D – на стороне АС). Найти длину отрезка CD. В треугольнике со сторонами 3, 4 и 6 проведана медиана к большей стороне. Определите косинус угла, образованного медианой с меньшей стороной треугольника.