Зимний «Головастик» - 2016
5 класс, первая серия – о цифрах
1. Можно ли найти 10 последовательных натуральных чисел и поставить их вместо звёздочек в выражения *–* = 2, *–* = 3, *–* = 4, *–* = 5, *–* = 6 так, чтобы получились пять верных равенств? Каждое из 10 чисел использовано ровно один раз.
2. В разложение натурального числа, меньшего 1200, на простые множители входит ровно 9 сомножителей, причём среди сомножителей есть хотя бы два различных. Докажите, что это число делится на 24.
3. Учительница дала Пете и Васе по одинаковому натуральному числу. Петя прибавил к этому числу его старшую цифру, а Вася вычел из числа его старшую цифру, после чего они перемножили свои результаты и получили 8006004002. Докажите, что они ошиблись.
4. Дано натуральное число n, большее 6. Докажите, что число n!+n имеет простой делитель, не меньший n. Напомним, что n! — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
5. a) На сколько нулей заканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 30? б) Может ли произведение натуральных чисел от 1 до n заканчиваться ровно на пять нулей?
6. Докажите, что число, составленное из пятидесяти пяти единиц, является составным.
7. Докажите, что число 
делится на 21.
8. Докажите, что 
делится на 99
9. а) Четырехзначное число записали в обратном порядке и сложили с первоначальным (например, 1234+4321 или 3520+253). Докажите, что результат делится на 11.
б) а верно ли это для пятизначного числа?
в) а сколько знаков должно быть в числе, чтобы это было верно?
г) А если в предыдущей задаче не складывать числа, а приписывать их друг к другу, будет ли результат делится на 11?
10. Докажите, что а) 
; б) 
в)
. Здесь одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам – разные цифры.
5 класс, вторая серия – цифры и признаки
11. Докажите, что число 
– составное.
12. 
делится на 271. Докажите, что b=d, c=e.
13. В числе берут любую цифру и заменяют ее на цифру, отличающуюся на 1. С помощью этих операций из числа 123451 получили 154321. Докажите, что в процессе выполнения операций получалось число, кратное 11.
14. Из восьмизначного числа вычеркнули две средние цифры и исходное число разделили на полученное. В частном оказалось натуральное число. Каким оно может быть?
15. Дана полоска из 6 клеток. Петя и Вася по очереди записывают в клетки цифры. Если полученное число делится на 91, то выигрывает Вася, если нет, то Петя. Всегда ли Вася сможет победить? А если полоска состоит из 12 клеток?
16. а) Число 
делится на 37. Доказать, что 
делится на 37. б) Число 
делится на 37. Доказать, что 
+
делится на 37. Верно ли обратное?
17. Учитель дал задание заменить в слове МАТЕМАТИКА разные буквы разными цифрами, а одинаковые – одинаковыми так, чтобы получившееся число делилось на 137. Костя, у которого тройка по русскому языку, записал слово с ошибкой: МАТЕМАТЕКА. Докажите, что теперь Косте не удастся решить задачу, несмотря на пятерку по математике.
18. Докажите, что любое шестизначное число, в записи которого по одному разу встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, не делится на 11.
19. Пусть a, b, c, d - различные цифры. Докажите, что 
не делится на 
.
20. Назовем натуральное число палиндромом, если при перестановке его цифр в обратном порядке оно не изменяется. Докажите, что существует 101-значный палиндром, делящийся на 13.
5 класс, третья серия – страны и цифры
21. Найти натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.
22. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.
23. Может ли число, составленное только из четвёрок, делиться на число, составленное только из троек? А наоборот?
24. В деревне Вишкиль 9 домов. Известно, что у Петра соседи Иван и Антон, Максим сосед Ивану и Сергею, Виктор – Диме и Никите, а также по соседству живут Евгений с Никитой, Иван с Сергеем, Евгений с Димой, Сергей с Антоном и больше соседей в означенной деревне нет (соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Петр огородами пробраться к Никите за яблоками?
25. В стране Цифра есть девять городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9?
26. В стране ЕщеЦифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если из цифр-названий этих городов можно составить двузначное число, кратное 4. Верно ли, что из любого города можно добраться в любой другой?
27. В стране СноваЦифра все то же самое, но теперь дорога соединяет города, из которых можно составить число, кратное 7. Верно ли, что из любого города можно добраться в любой другой?
28. а) В деревне Вишкиль 9 домов. Из каждого дома тянется четыре шланга к четырем другим домам и каждый из этих шлангов имеет длину 178 метров 25 сантиметров. Найти общую длину шлангов в деревне Вишкиль.
б) Петр, пробираясь огородами до Никиты, решил прибрать несколько шлангов. В процессе расследования участковый записал в протоколе, что теперь из каждого из девяти дома выходит по 3 шланга длиной 150 метров. Чему равен “убыток”, если метр шланга стоит 12 рублей?
29. а) В государстве из каждого города выходит ровно 5 дорог, а городов всего 70. Сколько дорог в государстве? б) Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 100 дорог?
30. Можно ли на окружности расположить числа 0, 1, 2, …, 9 так, чтобы любые два соседних числа отличались на 3, 4 или 5?
5 класс, четвертая серия – опять про Вишкиль
31. Кащей Бессмертный загадывает три двузначных числа: a, b, c. Иван Царевич должен назвать ему три числа: X, Y, Z, после чего Кащей сообщает ему сумму aX + bY + cZ. Царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Какие числа он должен загадать, чтобы остаться в живых?
32. Сумма двух цифр a и b делится на 7. Докажите, что число 
также делится на 7
33. 
делится на 9. Доказать, что 
делится на 3.
34. В трех вершинах правильного пятиугольника расположили по фишке. Разрешается двигать их по диагонали на свободное место. Можно ли такими действиями добиться, чтобы одна из фишек вернулась на первоначальное место, а две другие поменялись местами?
35. В доме отдыха Вишкиль 57 корпусов. Пьяный электрик Вася решил соединить телефонными проводами каждый корпус ровно с пятью другими. Сможет ли он это сделать?
36. В деревне Вишкиль 19 дачных участков. Может ли оказаться, что у каждого дачного участка 1, 5 или 9 соседних участков?
37. В записи натурального числа единиц в четыре раза больше, чем двоек, а других цифр нет совсем. Докажите, что если к этому числу прибавить 2016, то результат будет составным числом.
38. Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?
39. В государстве из столицы выходит 21 дорога, из города Дальний – 1 дорога, а из всех остальных городов – по 20 дорог. Докажите, что из столицы можно доехать в город Дальний.
40. В стране из каждого города выходит 2016 дорог и от любого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь из любого города можно добраться до любого другого.
5 класс, пятая серия – деревья
41. Лиса Алиса и Кот Базилио предложили Буратино заработать денег. Буратино должен выписать в строчку цифры от 1 до 9, и за каждое двузначное число в этой цепочке, делящееся на три, они обещали дать Буратино один сольдо. На какую максимальную сумму дохода может рассчитывать Буратино?
42. Двое пишут 100-значное число, используя только цифры 6,7,8,9. Второй выигрывает, если полученное число кратно 9. Кто выиграет при правильной игре?
43. Шестизначное число кратно 7. Докажите, что если его последнюю цифру переставить в начало, то полученное число тоже кратно 7.
44. Каково наименьшее натуральное n такое, что n! разделится на 220·510?
45. В стране из каждого города выходит 10 дорог и от любого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь из любого города можно добраться до любого другого.
46. В кружке у любого члена имеется один друг и один враг. а) Докажите, что число членов кружка чётно; б) Беспорядок возникает, когда на одном занятии присутствуют либо враги (дерутся), либо друзья (болтают). Докажите, что Ольга Сергеевна может разделить кружок на два кружка, в которых на занятиях не будет шума.
47. Деревом называется связный граф без циклов. Висячей вершиной называется вершина степени 1. Докажите, что в каждом дереве есть а) хотя бы одна висячая вершина; б) хотя бы две висячих вершин.
48. Нарисуйте все неизоморфные деревья на 7 вершинах.
49. Докажите, что если в дереве ровно 100 вершин, то в нем 99 ребер.
50. Докажите, что если граф связен и в нем 100 вершин и 99 ребер, то это – дерево.
5 класс, шестая серия – графы - сложные
51. В стране Анчурии ровно 100 городов и 99 дорог, но тем не менее из любого города можно доехать до любого другого. Докажите, что там, чтобы вернуться в город, необходимо повернуть назад и проехать тем же путем.
52. В стране Бенчурии 30 городов, причем каждый соединен с каждым своей дорогой. а) Сколько дорог в Бенчурии?
б) Тиран хочет закрыть как можно больше дорог (якобы на ремонт), но так, чтобы он сам с войсками в случае чего мог добраться из столицы до любого города. Какое наибольшее количество дорог ему удастся закрыть?
53. В стране Венчурии дорог нет вообще, зато есть авиалинии между городами, причем здесь тоже 100 городов, и из любого города можно долететь до любого другого. а) Докажите, что президент может облететь всю страну, сделав не более 198 перелетов? б) А всегда ли хватит 196 перелетов? в) Может, достаточно 194?
54. У марсиан бывает 4, 5 или 6 рук. Однажды все марсиане взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что число марсиан, у которых 5 рук, четно.
55. В Хоббитании живет 1000 хоббитов, и каждый день трое из них встречались в трактире. Через некоторое время трактирщик Сэм заметил, что каждый с каждым встретился ровно по одному разу. Докажите, что Сэм – не математик.
56. У гномов было поровну алмазов. Если бы гномов было на два меньше, то каждому досталось бы на один алмаз больше. А если бы гномов было на три меньше, то каждому досталось бы на два алмаза больше. Сколько было гномов?
57. Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый чёрный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый — с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько лоскутков белого цвета?
58. 20 школьников решали 20 задач. Каждый решил ровно две задачи, и каждую задачу решили ровно двое. Доказать, что можно устроить разбор задач так, чтобы каждый рассказал одну решённую им задачу
59. Есть 15 карточек, у каждой из которых на двух сторонах написано по числу. При этом все числа от 1 до 15 написаны по два раза. Доказать, что карточки можно разложить так, чтобы все числа сверху были различны.
60. Цифры числа N переставили, и оно уменьшилось в 3 раза. Доказать, а) что N делится на 9; б) что N делится на 27.
5 класс, седьмая серия – детские раскраски
61. Из противоположных углов доски 10Ч10 вырезаны два квадрата 3Ч3. Можно ли остаток разрезать на доминошки?
62. Придумать связную фигуру на шахматной доске, в которой поровну черных и белых клеток, но которую нельзя разбить на доминошки.
63. а) Докажите, что доску 8Ч8 с вырезанной угловой клеткой нельзя разрезать на триминошки. б) Можно ли доску 8Ч8 с вырезанной угловой клеткой разрезать на уголки из трех клеток?
64. Можно ли доску 10Ч10 разрезать на прямоугольники 1Ч4?
65. Можно ли доску 8Ч8 разрезать на один квадрат 2Ч2 и 15 фигур вида «Т» см. рис. ?
66. Можно ли из 13 кирпичей 1Ч1Ч2 сложить куб 3Ч3Ч3 с дыркой 1Ч1Ч1 в центре?
67. Можно ли составить куб 3Ч3Ч3 из красных, желтых и зеленых кубиков 1Ч1Ч1 так, чтобы в любом бруске 3Ч1Ч1 были кубики всех трех цветов?
68. На каждой клетке квадратной доски 5Ч5 сидит жук. В некоторый момент все жуки взлетают и приземляются на соседние по стороне клетки этой доски. а) Доказать, что после этого хотя бы одна клетка останется пустой. б) какое наименьшее число клеток может остаться пустыми?
69. Равносторонний треугольник разбит на 25 маленьких равносторонних треугольников (каждая сторона разбита на 5 частей). В каждом треугольнике сидит жук. В некоторый момент все жуки взлетают и приземляются на соседние по стороне клетки этой доски. а) Доказать, что после этого хотя бы одна клетка останется пустой. б) какое наименьшее число клеток может остаться пустыми?
70. Может ли шахматный конь обойти все клетки доски 5Ч5? А может ли он обойти все клетки и вернуться на начальное поле?
