Рабочий листок учащегося 10 класса «Исследования вокруг одной задачи»

Рабочий листок учащегося 10 класса

  «Исследования вокруг одной задачи»

Тема: Теорема Наполеона

Фамилия, имя учащегося ____________________________________

Дан произвольный треугольник АВС. На его сторонах постройте правильные треугольники.

Найдите центры построенных треугольников и соедините их Определите вид полученного треугольника. Изучите следующий теоретический материал

Теорема, о которой пойдёт речь впервые была опубликована английским математиком Уильямом Резерфордом (1798–1871) в 1825 году, спустя 4 года после смерти Наполеона. Хотя Наполеон и занимался геометрией достаточно серьёзно и небезуспешно, как для непрофессионального математика, многие специалисты сомневаются в том, что он является автором теоремы, названной его именем.

Если на сторонах треугольника построить правильные треугольники, то получим конфигурацию из четырех треугольников, которую называют треугольниками Наполеона. Окружности, описанные вокруг построенных правильных треугольников, называют окружностями Торричелли.

Именно Наполеону Бонапарту – императору Франции и великому полководцу – история приписывает изучение этой конфигурации, формулировку и доказательство утверждения, известного как теорема Наполеона:

Если на сторонах произвольного треугольника извне его построены равносторонние треугольники, то их центры являются вершинами равностороннего треугольника.

В различных источниках приводятся разные доказательства теоремы Наполеона. Чаще всего можно встретить доказательства, основанные на свойствах поворота или использующие комплексные числа.

С одним из элементарных доказательств, основанном на применении теоремы косинусов, познакомьтесь на сайте "Математика, которая мне нравится".

Докажем теорему Наполеона, используя свойства окружности.

Пусть на сторонах треугольника АВС построены равносторонние треугольники АВС1, А1ВС и АВ1С; щ1, щ2 и щ3 – окружности, описаны вокруг этих треугольников (соответственно).

Докажем, что щ1, щ2 и щ3 пересекаются в одной точке – точке Торричелли.

Обозначим точку пересечения окружностей, описанных вокруг треугольников А1ВС и АВ1С, как М. Тогда ∠АМС = 180° – 60° = ∠ВМС.

Отсюда ∠АМВ = 360° – 2 · 120° = 120°, и точка М лежит на окружности, описанной вокруг АВС1.

Прямые О1О3 и О1О2 перпендикулярны к общим хордам АМ и ВМ окружностей щ1 и щ3,  щ1 и щ2 соответственно.

Тогда ∠О1 + ∠АМВ = 180°, ∠О1 = 180° – ∠АМВ = 60°.

Аналогично:  ∠О2 = ∠О3 = 60°, и треугольник О1О2О3 – правильный.  Теорема  Наполеона  доказана.

Мы строили правильные треугольники извне заданного треугольника на его сторонах. Их ещё называют внешними треугольниками Наполеона для заданного треугольника.

По аналогии, если правильные треугольники строят на сторонах треугольника внутрь его, то их называют внутренними треугольниками Наполеона для заданного треугольника.

Треугольник с вершинами в центрах внутренних треугольников Наполеона также является правильным.

На основе изученной теоремы решите задачи:

Задача № 1. Докажите, что внешний и внутренний треугольники Наполеона имеют общий центр.

Задача № 2. Разность площадей внешнего и внутреннего треугольников Наполеона произвольного треугольника АВС равна площади треугольника АВС.

Заполни таблицу:

Какие знания я использовал во время выполнения заданий?	Какая информация стала для меня новой?	Какие умения я приобрел?

Оцени свою работу на уроке по пятибалльной системе__________