Интеллектуальные системы и технологии
УДК 51-72
,
д-р техн. наук, доцент
,
канд. физ.-мат. наук, доцент
,
канд. техн. наук, доцент
,
студент
,
студент
,
студент
,
студент
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Полуэмпирическая модель прогиба реальной мембраны
Аннотация: Рассмотрено решение задачи о моделировании прогиба нагруженной круговой мембраны в симметрическом случае. Сравниваются модели, выражающие зависимость прогиба мембраны от расстояния до центра. Первая основана на аналитическом решении уравнений условий равновесия. Вторая получена с помощью оригинальной модификации уточнённого метода Эйлера. Коэффициенты моделей подбирались по экспериментально полученных данным.
Ключевые слова: уточнённый метод Эйлера; круглая мембрана; исследование зависимости прогиба от радиуса
Abstract: The solution of the problem of modeling the deflection of a loaded circular membrane in the symmetric case is considered. The models that express the dependence of the deflection of the membrane from the distance to the center are compared. The first is based on the analytical solution of the equations of equilibrium conditions. The second was obtained with the help of the original modification of the refined Euler method. The coefficients of the models were chosen from the experimentally obtained data
Key words: the refined Euler method; the round membrane; the dependence of the deflection on the radius
Введение. Широкое использование тканевых материалов различного назначения требует методик моделирования их поведения под нагрузкой. В данной работе мы применяем наши методы [1] для построения модели такой мембраны на основе дифференциального уравнения и экспериментальных данных.
Рассматривается круглая мембрана радиуса R, изготовленная из ткани “оксфорд 600”, на ней располагаются поочередно грузы различной массы, мембрана предполагается невесомой, груз размещается в центре мембраны, его радиус далее обозначен как a, предполагается, что растяжение изотропно (натяжение одинаково по всем направлением). В данной статье сравниваются точное решение дифференциального уравнения и приближенное решение, полученное двухшаговым методом Эйлера [2,3], с другой стороны, в плане их соответствия экспериментальным данным.
Методы. Пусть 
отклонение мембраны от положения равновесия. Для его описания используем уравнение:
(1)
которое представляет собой уравнение Лапласа в полярных координатах, где 
, то есть искомая функция не зависит от направления, а зависит только от расстояния 
точки от центра мембраны [4]. Здесь 
, 
- вес груза, 
- абсолютная величина приложенной к краю мембраны растягивающей силы. Поскольку мембрана предполагается невесомой, ее вес в правой части уравнения (1) отсутствует.
Для дальнейшего сравнения с приближенным решением выпишем его точное решение уравнения (1):
. (2)
Здесь 
. Решение (2) получено с учетом непрерывности 
при 
и ограниченности решения при 
. Выбор параметра 
здесь производится с помощью метода наименьших квадратов так, чтобы минимизировать величину 
. Здесь 
- значения 
, для которых проводились измерения прогиба, 
- результаты соответствующих измерений, 
- значения функции 
, найденные по формуле (2). Очевидно, найдя значение 
, мы будем знать и соответствующее значение 
=
. С учетом приведенных выше формул, зная из эксперимента вес груза, и определяя значение 
, мы определяем величину растягивающей силы 
. Приведем уравнение (1) к нормальной системе дифференциальных уравнений [5]:
(3)
Здесь 
- правая часть уравнения (1). После замены переменной 
, решая систему (3) двухшаговым методом Эйлера, получим
(4)
Значение 
, как и раньше, берется из эксперимента. Значение 
пока не определено. Решение (2) рассматривается при 
, то есть при 
Теперь для 
решим систему (3) тем же методом, считая значение прогиба 
при 
неизвестным, а значение производной 
при 
нулевым. Тогда получим
(5)
Требуя непрерывности решения 
и его производной 
в точке 
, получим следующие условия:
(6)
Из условий непрерывности (6) найдем выражения параметров 
и 
через значение 
, а последнее определим с помощью метода наименьших квадратов так, чтобы минимизировать величину 
, где 
вычисляются по формуле (5) для 
и по формуле (4) для 
.
Теперь в приближенном решении 
, выраженном формулами (4) и (5), будут найдены все параметры, и мы можем сравнить его с точным решением так же, как при рассмотрении однородного дифференциального уравнения мембраны.
Результаты. Значение z0 для точного решения = 0,410, для приближенного = 0,884, значение B для точного решения = 456,028, для приближенного = 111,173, значение Т для точного решения= 0.044, для приближенного = 0.180. Масса груза = 2000 гр, радиус груза=3 см, радиус мембраны=50 cм. С использованием вышеупомянутых значений были получены приближенное и точное решения рис.1
Рисунок 1. Графики решений
Рисунок 2. Графики отклонения решений от экспериментальных значений для опыта.
На рис.2 видим, что точное решение сильнее отклоняется от эксперимента, чем приближенная модель.
Выводы. Результаты работы могут быть полезны при обосновании выбора страховочно-амортизационных элементов безопасности (строп, веревок, тросов) при проведении работ на высоте. Интерес представляет также проверка упругих свойств материалов, из которых изготовлен так называемый «куб жизни» и прогнозирование изменения этих свойств в течение времени и в процессе его использования.
Статья подготовлена на основе научных исследований, выполненных при финансовой поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 18-19-00474).
Библиографический список
Lazovskaya T., Tarkhov D. Multilayer neural network models based on grid methods, IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 158 (2016) http://iopscience. iop. org/article/10.1088/1757-899X/158/1/01206. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения // М.: Высшая школа. — 2001. — С. 218-220. Hairer E., Nor sett S. P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problem, Springer-Verlag, Berlin, 1987. XIV – 480 pp. , Уравнения математической физики // М.: Наука. — 1977. — C. 430-437. , Уравнения математической физики // М.: Наука. — 1960. — C. 130-143.