Исследование rq-системы m|m|n в условии большой загрузки

Исследование RQ-системы M|M|N в условии большой загрузки

Томский государственный университет, *****@***ru

В работе проведено исследование СМО с повторными вызовами М/М/N методом асимптотического анализа в условии большой загрузки.

Ключевые слова: RQ-система, метод асимптотического анализа, большая загрузка.

Введение

В реальных телекоммуникационных системах часто возникают ситуации повторных обращений заявок к обслуживающему прибору после неудачной попытки добиться обслуживания спустя некоторое случайное время. Такие повторные вызовы могут быть вызваны не только отсутствием свободных серверов в моменты поступления заявок, но техническими причинами (например, неисправный прибор).

В качестве математической модели подобных систем, как правило, используют системы массового обслуживания с повторными вызовами – RQ-системы (Retrial Queueing System) [1, 2].

На сегодняшний день исследованию RQ-систем посвящено большое количество работ [3], однако аналитических формул получено немного (лишь для однолинейных систем с простейшим входящим потоком) [2]. В основном, задачи решаются численными методами или с помощью имитационного моделирования, и как следствие, результаты таких исследований имеют узкую применимость.

Для RQ-систем с несколькими приборами получены формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии числа заявок, а также производящая функция для системы М|М|2 [2].

В данной работе для исследования многолинейных RQ-систем предлагается метод асимптотического анализа в условии большой загрузки, позволяющий получить аналитические результаты для систем массового обслуживания различной сложности.

Математическая модель

Рассмотрим RQ-систему с N приборами, на вход которой поступает простейший поток заявок с параметром л, время обслуживания каждой заявки распределено по экспоненциальному закону с параметром м (рис. 1). Если поступившая заявка застает один из приборов свободным, то она занимает его для обслуживания. Если все приборы заняты, то заявка переходит в источник повторных вызовов (ИПВ или орбита), где осуществляет случайную задержку, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром у. Из ИПВ после случайной задержки заявка вновь обращается к прибору с повторной попыткой получить обслуживание. Если есть свободный прибор, то заявка из ИПВ занимает его для обслуживания, в противном случае она мгновенно возвращается в источник повторных вызовов для реализации следующей задержки.

Рис. 1. RQ-система M|M|N

Пусть i(t) – число заявок в ИПВ, а k(t) – определяет состояние прибора следующим образом:

Обозначим P{k(t)=k, i(t)=i}=P(k, i,t) – вероятность того, что прибор в момент времени t находится в состоянии k и в источнике повторных вызовов находится i заявок. Очевидно, что процесс {k(t), i(t)} изменения состояний данной системы во времени является марковским.

Ставится задача нахождения распределения вероятностей числа заявок в источнике повторных вызовов такой системы.

Для распределения вероятностей P(k, i,t) состояний рассматриваемой RQ-системы составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова, которую запишем в стационарном режиме.

Введем частичные характеристические функции , где .

               (1)

где с=л/(Nм) – параметр, характеризующий загрузку системы.

Решим систему (1) методом асимптотического анализа в условиях большой загрузки, то есть при с↑1 или при е↓0, где е=1–с>0.

Введем обозначения u=еw, , , …, , …,. Тогда система (1) перепишется в виде:

               (2)

Запишем следующие разложения:

                       (3)

Асимптотическая характеристическая функция в условиях большой загрузки может быть определена равенством:

Таким образом, для нахождения асимптотической характеристической функции из системы (2) необходимо найти вид функции FN (w).

Решая систему уравнений, полученную из (2) подстановкой разложений (3) и учитывая условие нормировки , можно доказать следующую теорему.

Теорема. Асимптотическая характеристическая функция числа заявок в ИПВ в RQ-системе M|M|N в условии большой загрузки имеет вид:

               (4)

Выводы

Таким образом, в работе было проведено исследование системы массового обслуживания с повторными вызовами М/М/N в условии большой загрузки. Была получено, что асимптотическая характеристическая функция числа заявок в ИПВ имеет вид характеристической функции гамма-распределения с параметром формы и параметром масштаба . Интересно, что получение гамма-распределения согласуется с результатами для однолинейных RQ-систем [4], для которых показано, что в условии большой загрузки гамма-распределение имеет место и для более сложных систем: с функцией обслуживания произвольного вида, с входящим ММРР-потоком.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-31-00292 мол_а.

Литература

1. Artalejo J. R., Gomez-Corral A. Retrial Queueing Systems: A Computational Approach. – Berlin: Springer, 2008. – 267 p.

2. Falin G. L., Templeton J. G.C. Retrial queues. – London: Chapman & Hall, 1997. – 328 р.

3. Artalejo J. R. Accessible bibliography on retrial queues: Progress in 2000-2009 // Mathematical and Computer Modelling. – V. 51. –2010. –Pp. 1071-1081.

4. , Исследование RQ-системы MMPP|GI|1 методом асимптотического анализа // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. – №4 (25). – 2013. – С. 84-94.

Study of retrial queueing system M|M|N under heavy load condition

Fedorova E. A.

Tomsk state university, *****@***ru

In the paper the retrial queue M|M|N is studied by the asymptotic analysis method under heavy load condition.

Кеу words: retrial queue, asymptotic analysis, heavy load.