Тема: «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора».
Цель: Создать условия для формирования умения раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам, ввести понятие координат вектора и рассмотреть правила действий над векторами с заданными координатами.
Задачи:
- развитие познавательной активности
-формирование умения раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам
- формировать умения находить координаты вектора и выполнять действия над векторами, заданными координатами
-развивать умение работать с текстовой, символьной информацией
-воспитывать интерес к изучению математических дисциплин
Планируемые результаты:
Личностные: положительная мотивация к обучению, умение преодолевать трудности, успешность каждого в открытии нового, активность, внимание
Предметные: формирование умения раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам, доказывать теорему о разложении вектора, решать задачи разными способами, осуществлять выбор оптимального решения; формировать умение определять координаты вектора, выполнять операции с векторами с заданными координатами; формирование графической культуры; оперирование правилами сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число, понятиями: абсолютная величина, вектор, коллинеарные векторы, равные векторы
Метапредметные:
Познавательные: развитие логического и образного мышления, умение анализировать, делать выводы, проводить сравнение; формирование грамотного употребления математической терминологии в устной речи.
Коммуникативные: развитие умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками
Регулятивные: освоение действий по проверке, анализу и коррекции результатов своей деятельности; осознание качества и уровня усвоения; правильность выполнения учебной задачи
Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, текстовая информация, учебник.
Ход урока.
Организационный момент.Сообщение темы и целей урока. Отчет старосты об отсутствующих.
Актуализация знаний и умений обучающихся. Анализ контрольной работы. Разбор нерешенных заданий. Выявление типичных ошибок обучающихся. Систематизация теоретического материала.
Устный опрос
1. Дайте определение вектора
[Вектором или направленным отрезком называется отрезок для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.]
2 Длина или модуль ненулевого вектора АВ – это
[длина отрезка АВ]
3.Ненулевые вектора называются коллинеарными, если…
[они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых]
4.Сколько векторов равных данному можно отложить от точки
[один]
5. Два коллинеарных вектора направленные одинаково называются
[сонаправлеными]
6. Векторы называются равными, если…
[они сонаправлены и их длины равны]
Изучение нового материала.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
При решении задач часто возникает необходимость выразить какой-либо вектор через уже заданные векторы. Такая операция называется разложением вектора по неколлинеарным векторам.
Лемма о коллинеарных векторах.
Лемма - это вспомогательное утверждение, с помощью которого доказывается следующая теорема или несколько теорем.
Теорема: Если векторы 
и 
коллинеарны и в≠ф, то существует такое число k, что 
= k
.
Так как рассматриваемые векторы, по условию коллинеарны, то они могут иметь одинаковые направления. Рассмотрим два случая, когда векторы
и 
сонаправлены и противоположно направлены.
Доказательство:
1) 
. Возьмем число 
. Так как k≥ 0, то векторы k
и 
сонаправлены (рисунок 1). Кроме того, их длины равны: │kв│=│k│*│в│= = 
*│в│=│
│. Поэтому 
= k
2) 
. Возьмем число 
. Так как k<0, то векторы k
и 
снова сонаправлены (рисунок2). Их длины также равны: |k
|=|k|*|
|= 
*|
|=|
|. Поэтому 
= k
Рис. 2
3. Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Пусть 
и 
- данные неколлинеарные векторы, вектор 
представлен в виде
= х
+у
, где х и у - некоторые числа. Принято говорить, что вектор 
разложен по векторам 
и 
. Числа х и у называются коэффициентами разложения.
Доказательство:
Возможны два случая:
1) Вектор 
коллинеарен одному из векторов 
и 
, например, вектору 
(рисунок1). В этом случае по лемме о неколлинеарных векторах вектор 
можно представить в виде 
= у
, где у - некоторое число, и, следовательно, 
=0
+у
, т. е. вектор 
разложении по векторам
и 
.
2) Вектор 
не коллинеарен ни вектору 
, ни вектору 
. Отметим какую-нибудь точку О и отложим от нее векторы 
= 
, 
=
, 
=
(рис. 2).
Через точку Р проведем прямую, параллельную прямой ОВ, и обозначим через А1 точку пересечения этой прямой с прямой ОА. По правилу треугольника 
=
+ 
. Но векторы 
и 
коллинеарны соответственно векторам 
и 
, поэтому существует числа х и у, такие, что 
= х
, 
= у
. Следовательно, 
= х
+у
, т. е. вектор 
разложен по векторам 
и 
.
Докажем теперь, что коэффициенты х и у разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением 
= х
+у
имеет место другое разложение 
= х1
+у1
. Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем 
=(х-х1) 
+ (у-у1) 
. Это равенство может выполняться только в том случае, когда коэффициенты х-х1 и у-у1 равны нулю. В самом деле, если предположить, например, что х-х1 ≠0, то из полученного равенства найдем 
= -
, а значит векторы 
и 
коллинеарны. Но это противоречит условию теоремы. Следовательно, х-х1=0 и у-у1=0, откуда х=х1 и у=у1. Это и означает, что коэффициенты вектора 
определяются единственным образом. Теорема доказана.
Координаты вектора.
Рассмотрим прямоугольную систему координат. Отложим от начала координат О единичные векторы (т. е. векторы, длины которых равны единице) i и j так, чтобы направление вектора i совпало с направлением оси Ох, а направление вектора j – с направлением оси Oy. Векторы i и j назовем координатными векторами.
Координатные векторы неколлинеарны, поэтому любой вектор р можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде p = xi + yj, причём коэффициенты разложения (числа x и y) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора р по координатным векторам называются координатами вектора р в данной системе координат. Координатные векторы будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора. На рисунке вектор 
, 
и вектор 
.
Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.
и 
– данные векторы
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Формирование знаний и умений обучающихся.
1. Решить задачи № 000 (а).
2. Решить задачи № 000 (по готовому чертежу) и № 000 (а).
3. Решить задачу № 000 на доске и в тетрадях.
4. Устно решить задачи № 000–925, используя правила, записанные в тетрадях.
5. Записать утверждение задачи № 000 без доказательства:
1) Если два вектора коллинеарные, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого: если 
коллинеарен вектору 
, то x1 : x2 = y1 : y2.
2) Если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого вектора, то эти векторы коллинеарные.
6. Решить задачу № 000.
Решение
Используем условие коллинеарности векторов: 
.
1) 
(3; 7) и 
(6; 14), так как 
;
2) 
(–2; 1) и 
(2; –1), так как 
.
Подведение итогов урока.
Выводы по теме:
1.Лемма - это вспомогательное утверждение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем.
2. Лемма (о коллинеарных векторах). Если векторы 
и 
коллинеарны и вектор 
№0, то существует такое число k, при котором 
= k
3. Пусть 
и 
- данные неколлинеарные векторы, вектор 
представлен в виде
= х
+у
, где х и у - некоторые числа. Принято говорить, что вектор 
разложен по векторам 
и 
. Числа х и у называются коэффициентами разложения.
4. Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
5. Правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.
и 
– данные векторы
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Домашнее задание: прочитать п. 86 – 87, выполнить № 000 (д - и), № 000
