Программа дисциплины Дополнительные главы теории массового обслуживания. Раздел «Теория массового обслуживания»

       Рекомендовано МССН «Математика»

ПРОГРАММА

Наименование дисциплины  Дополнительные главы теории массового обслуживания. Раздел «Теория массового обслуживания»

Рекомендуется для направления (ий) подготовки (специальности (ей))

01.04.02  Прикладная математика и информатика
Магистерская специализация 
«Теория вероятностей и математическая статистика»

Квалификация (степень) выпускника  академический магистр

1. Цели и задачи дисциплины: Целями освоения дисциплины «Дополнительные главы теории массового обслуживания» является обучение студентов основам теории массового обслуживания (ТМО), а также решению прикладных задач анализа показателей качества функционирования сетей телекоммуникаций с применением моделей ТМО. Курс носит теоретический и практический характер.

Целью курса является:

Курс «Дополнительные главы теории массового обслуживания» входит в базовую часть профессионального цикла и необходим студентам для развития профессиональных компетенций. Цель курса - освоение студентами элементов теории массового обслуживания, теории случайных процессов, применяемых в теории телетрафика Курс базируется на знаниях студентов, полученных при изучении общих курсов математики, и курса «Теория вероятностей и математической статистики».

Задачей курса «Дополнительные главы теории массового обслуживания» является обучение студентов на примерах простейших моделей составлять системы уравнений равновесия для марковских процессов, описывающих функционирование моделей телекоммуникационных систем массового обслуживания, решать эти уравнения, а также проводить анализ вероятностно-временных характеристик этих моделей.

2. Место дисциплины в структуре ООП: Дисциплина «Дополнительные главы теории массового обслуживания» представляет собой раздел базовой части цикла профессиональных дисциплин (БЗ) по направлению подготовки 01.04.02 – Прикладная математика и информатика.

Дисциплина базируется на следующих дисциплинах математического и естественнонаучного цикла (Б.2) – математический анализ, и профессионального цикла (Б.3): аналитическая геометрия, фундаментальная алгебра, дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика.

Дисциплина формирует знания студентов для освоения таких дисциплин профессионального цикла (Б.3) как: теория оптимального портфеля ценных бумаг, прикладные задачи теории массового обслуживания, эконометрика, основы финансовой и актуарной математики.

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

ОК: 6-8,11-12,14,15; ПК: 1-10,13,14,16,21-23,27,29

ОК-6        способность применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук

ОК-7        обладать значительными навыками самостоятельной научно-исследовательской работы

ОК-8        способность и постоянная готовность совершенствовать и углублять свои знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям

ОК-11        обладать фундаментальной подготовкой в области фундаментальной математики и компьютерных наук, готовность к использованию полученных знаний в профессиональной деятельности

ОК-12        владеть значительными навыками самостоятельной работы с компьютером, программирования, использования методов обработки информации и численных методов решения базовых задач

ОК-14        способность к анализу и синтезу информации, полученной из любых источников

ОК-15        способность к письменной и устной коммуникации на русском языке

ПК-1        умение определять общие формы, закономерности, инструментальные средства отдельной предметной области

ПК-2        умение понять поставленную задачу

ПК-3        умение формулировать результат

ПК-4        умение строго доказать утверждение

ПК-5        умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат

ПК-6        умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата

ПК-7        умение грамотно пользоваться языком предметной области

ПК-8        умение ориентироваться в постановках задач

ПК-9        знание корректных постановок классических задач

ПК-10        понимание корректности постановок задач

ПК-13        глубокое понимание сути точности фундаментального знания

ПК-14        владение навыками контекстной обработки информации

ПК-16        выделение главных смысловых аспектов в доказательствах

ПК-21        владение проблемно-задачной формой представления математических и естественнонаучных знаний

ПК-22        умение увидеть прикладной аспект в решении научной задачи, грамотно представить и интерпретировать результат

ПК-23        умение проанализировать результат и скорректировать математическую модель, лежащую в основе задачи

ПК-27        умение точно представить математические знания в устной форме

ПК-29        возможность преподавания физико-математических дисциплин в общеобразовательных учреждениях и образовательных учреждениях среднего профессионального образования

В результате освоения дисциплины, обучающийся должен демонстрировать следующие результаты образования:

Знать:

- аппарат теории вероятностей, применяемый в ТМО

- основные понятия и определения ТМО;

- принципы построения простейших марковских моделей для анализа систем массового обслуживания (СМО).

Уметь:

- с помощью аппарата теории вероятностей (ТВ), теории случайных процессов строить простые модели ТМО;

- для построенных моделей составлять и решать системы уравнений равновесия (СУР);

- получать вероятностные характеристики моделей, связанные с показателями производительности СМО;

- применять численные методы при анализе полученных характеристик моделей.

- интерпретировать результаты математического моделирования.

Владеть:

- методами математического моделирования стохастических динамических явлений;

- навыками логического мышления, позволяющими грамотно пользоваться математическими моделями для описания реальных явлений с помощью математических моделей;

- алгоритмами и программными средствами решения задач моделирования стохастических динамических явлений.

4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины составляет  4  зачетные единицы.

№	Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
9
1.	Аудиторные занятия (всего)	51	51
В том числе:
1.1	Лекции	17	17
1.2	Прочие занятия	34	34
В том числе:
1.2.1	Практические занятия (ПЗ)	-	-
1.2.2	Семинары (С)	-	-
1.2.3	Лабораторные работы (ЛР)	34	34
1.2.4	Из них в интерактивной форме (ИФ):	17	17
2.	Самостоятельная работа студентов (ак. часов)	57	57
В том числе:
2.1	Курсовой проект (работа)	-	-
2.2	Расчетно-графические работы	-	-
2.3	Реферат	-	-
2.4	Подготовка и прохождение промежуточной аттестации	27	27
2.5	Другие виды самостоятельной работы:
2.5.1	Самостоятельная проработка дополнительных материалов по дисциплине	10	10
2.5.2	Выполнение домашних заданий	10	10
2.5.3	Подготовка к контрольным работам	10	10
3.	Общая трудоемкость (ак. часов)	108	108
4.	Общая трудоемкость (зачетных единиц)	3	3

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела
1.	Вероятностный аппарат теории массового обслуживания	Основные распределения случайных величин (СВ). Характеристические преобразования СВ: преобразование Лапласа, преобразование Лапласа-Стилтьеса, производящая функция, характери-стическая функция.
2	Элементы теории случайных процессов.	Цепи Маркова. Эргодическая теорема. Марковские процессы с непрерывным временем. Теорема Колмогорова. Конструктивное описание марковских процессов. Случайный поток.
3	Классические модели теории телетрафика	Классификация Башарина-Кендалла. Понятие глобального, локального и частичного балансов. Система уравнений равновесия. Первая модель Эрланга: система . Вторая модель Эрланга: система .
4	Система массового обслуживания М|G|1|беск.	Модель канала передачи данных: система . Система : анализ методом вложенной цепи Маркова. Формула Поллачека-Хинчина. Основные ВВХ.

5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспе-чиваемых (последующих) дисциплин	№/№ разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1	2	3
1.	Теория оптимального портфеля ценных бумаг	+	+	+
2.	Прикладные задачи теории массового обслуживания	+	+	+
3.	Эконометрика	+	+	+
4.	Основы финансовой и актуарной математики	+	+	+

5.3. Разделы дисциплин и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Лекц.	Практические занятия и лабораторные работы	СРС	Всего час.
ПЗ/С	ЛР	Из них в ИФ
1.	Вероятностный аппарат теории массового обслуживания	2	4	2	10	16
2.	Элементы теории случайных процессов.	5	10	5	13	28
3.	Классические модели теории телетрафика	6	12	6	18	36
4.	Система массового обслуживания М|G|1|беск.	4	8	4	16	28
Итого	17	34	17	57	108

5.3. Описание интерактивных занятий

№ п/п	№ раздела дисциплины	Тема интерактивного занятия	Вид занятия	Трудо-емкость (час)
1	Вероятностный аппарат ТМО. Характеристические преобразования	семинар с обсуждением	2
2	Марковские процессы с непрерывным временем. Теорема Колмогорова.	семинар с обсуждением	1
3	Первая модель Эрланга. Переходные вероятности ПРГ. Диаграмма интенсивностей переходов. СУГБ и СУЛБ.	семинар с обсуждением	2
3	Для первой модели Эрланга: стационарные вероятности. вероятность блокировки.	семинар с обсуждением	1
3	Вторая модель Эрланга. Построение ПРГ. Переходные вероятности ПРГ. Диаграмма интенсивностей переходов. СУГБ и СУЛБ. Стационарные вероятности.	семинар с обсуждением	2
3	Вторая модель Эрланга. Условия существования стационарного режима.	семинар с обсуждением	1
3	Вероятностно-временные характеристики для второй модели Эрланга	семинар с обсуждением	1
4	СМО М|M|1|беск. Построение ПРГ. Переходные вероятности ПРГ. Диаграмма интенсивностей переходов. СУГБ и СУЛБ.	семинар с обсуждением	1
4	СМО М|M|1|беск.: стационарные вероятности, основные ВВХ	семинар с обсуждением	1
4	СМО М|G|1|беск. Построение вложенной ЦМ.	семинар с обсуждением	1
4	СМО М|G|1|беск. Матрица переходных вероятностей ЦМ. СУР. Формула Поллачека-Хинчина. Основные ВВХ.	семинар с обсуждением	2
1-4	Консультации по подготовке к итоговому контролю знаний.	семинар с обсуждением	2

6. Лабораторный практикум – не предусмотрен

7. Практические занятия (семинары)

№ п/п	№ раздела дисциплины	Тематика практических занятий (семинаров)	Трудо-емкость (час.)
1.	Вероятностный аппарат теории массового обслуживания	4
2.	Элементы теории случайных процессов.	10
3.	Классические модели теории телетрафика	12
4.	Система массового обслуживания М|G|1|беск.	8
Итого	34

8. Примерная тематика курсовых проектов (работ) – не предусмотрены

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) основная литература

1. Лекции по математической теории телетрафика. М.: Изд-во РУДН. 3-е изд. 2009. – 342 с.

2. , Теория массового обслуживания: Учебник. М.: Изд-во РУДН, 1995. – 529 с., ил.

3. , , Прикладные задачи теории массового обслуживания: Учебное пособие. – М.: РУДН, 2015. – 124 с.

б) дополнительная литература

1. , , Мультипликативные решения конечных цепей Маркова: монография. М.: РУДН, 2015. – 159 с.

2. еория массового обслуживания: Учебник. М.: Машиностроение, 1979. – 518 с.

3. Iversen V. B. Teletraffic engineering and network planning. – ITU-D, May 2006. – 590 p. http://. dtu. dk/education/34340/telenook. pdf

4. , Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. 1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики. – М.: МЦНМО. – 2007. - 456 с.

5. , Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. 2. Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения. – М.: МЦНМО. – 2010. - 559 с.

в) программное обеспечение не предусмотрено

г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы не предусмотрены

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

Лекционные ауд. 260, 261,400, 485, 497, 495а

Ауд. для проведения семинарских занятий 383, 385, 387, 389, 395, 397, 398, 400

Графическая доска, раздаточный материал

11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Учебным планом на изучение дисциплины отводится один семестр. В семестре проводится две контрольные работы. В конце семестра производится контроль знаний – экзамен, включающий в себя устный опрос студента по теоретическому материалу дисциплины.

11.1 Структура практических (лабораторных) занятий

Решение задач по темам, предусмотренным настоящей программой.

11.2. Самостоятельная работа студента

Проработка материалов по дисциплине. Выполнение домашних заданий. Подготовка к итоговому контролю знаний.

11.3. Примерный перечень вопросов промежуточного и итогового контроля знаний

Для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов рекомендуется использовать вопросы и задания подобные перечисленным ниже:

Типовые вопросы для итогового контроля знаний по дисциплине «Дополнительные главы теории массового обслуживания» (НП-5):

Вероятностный аппарат теории массового обслуживания. Определения и свойства характеристических преобразований: характеристическая функция, преобразование Лапласа, преобразование Лапласа-Стилтьеса, производящая функция. Классификация Башарина-Кэндалла. Определяющие параметры СМО. Параметры функционирования СМО (основные вероятностные характеристики модели). Входящий поток требований: рекуррентный поток, детерминированный, пуассоновский, эрланговский потоки. Различные распределения длительности обслуживания. Показатели качества обслуживания: длина очереди, время ожидания начала обслуживания, число заявок в СМО, время пребывания заявки в СМО, вероятность потери заявки (по времени, по вызовам). Первая модель Эрланга: схема модели, СП, пространство состояний модели, вывод СПДУК из уравнений Колмогорова-Чэпмена, СУР из СПДУК, условие существования решения СУР, стационарное РВ, основные вероятностные характеристики модели через : вероятность блокировки заявки, среднее число заявок в СМО. Первая модель Эрланга: схема модели, СП, пространство состояний модели, матрица , СУР из диаграммы интенсивностей переходов, условие существования решения СУР, стационарное РВ, основные вероятностные характеристики модели через : вероятность блокировки заявки, среднее число заявок в СМО. Вторая модель Эрланга с конечной очередью: схема модели, СП, пространство состояний модели, вывод СПДУК из уравнений Колмогорова-Чэпмена, СУР из СПДУК, стационарное РВ, основные вероятностные характеристики модели через : вероятность блокировки заявки, среднее число заявок в СМО, среднее число заявок в очереди. Вторая модель Эрланга с конечной очередью: схема модели, СП, пространство состояний модели, матрица , диаграмма интенсивностей переходов, СУР из диаграммы интенсивностей переходов, стационарное РВ, основные вероятностные характеристики модели через : вероятность блокировки заявки, среднее число заявок в СМО, среднее число заявок в очереди. СМО : схема модели, СП, пространство состояний модели, матрица , диаграмма интенсивностей переходов, СУР из диаграммы интенсивностей переходов, условие существования решения СУР, стационарное РВ, основные вероятностные характеристики модели через : ФР времени ожидания  и ФР времени пребывания заявки в СМО, ПЛС и этих ФР, среднее число заявок в СМО, среднее число заявок в очереди. СМО : схема модели, СП, пространство состояний модели, траектория СП, построение вложенной ЦМ. СМО : вложенная ЦМ, матрица переходных вероятностей , СУР, решение СУР через ПФ, условия существования решения СУР, формула Поллачека-Хинчина, среднее число заявок в СМО, среднее число заявок в очереди.

Примеры задач

Найти преобразование Лапласа для функции заданного вида. Для второй модели Эрланга с конечной очередью провести исследование модели: изобразить схему модели, составить СП, описывающий модель, выписать пространство состояний СП, изобразить граф интенсивностей переходов. СУГБ. СУЛБ. Вывод распределения вероятностей состояний модели при помощи СУЛБ. Вероятность блокировки. Найти среднюю длину очереди и среднее число заявок в системе. Для первой модели Эрланга доказать рекуррентную формулу Для первой модели Эрланга доказать тождества

, , .

Разработчик:

К. ф.-м. н., доц., доц. каф. прикладной

информатики и теории вероятностей 

Заведующий кафедрой прикладной

информатики и теории вероятностей