Показательная форма комплексного числа.
Лекция
Показательная форма комплексного числа.
План
1. Общий вид показательной формы.
2.Действия над комплексными числами в показательной форме
1. Общий вид показательной формы.
Рассмотрим показательную функцию 
Можно показать, что функция w может быть записана в виде:
Данное равенство называется уравнением Эйлера.
Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:
1) 
2) 
3) 
где m – целое число.
Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:
Для комплексно – сопряженного числа получаем:
Из этих двух уравнений получаем:
Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.
Если представить комплексное число в тригонометрической форме:
и воспользуемся формулой Эйлера: 
Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.
Пример 1. Записать в показательной форме комплексное число 
.
Модуль 
Находим аргумент 
.
Поскольку 
Пример 2.
Находим модуль 
. Аргумент 
(главное значение) найдём из соотношения 
Итак 
Пример 3. 
.
Пример 4.
2. Действия над комплексными числами в показательной форме.
Из формули Эйлера 
(1)
(2) можно получить важне следствия.
Складывая почленно равенства(1) і (2),получим 
откуда
(3)
Почленно вычитая из равенства (1) равенство (2),получаем 
откуда
(4)
Равенства(3) і (4) также называются формулами Эйлера; они выражают тригонометрические функции действительного аргумента 
через показательные функции мнимого аргумента. Формулы (3) и (4) справедливы и тогда, корда
заменяется любым комплексным числом
; такая замена дает:
(5) 
(6)
равенства (5) и (6) принимаются за определения косинуса и синуса комплексного аргумента. Если комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление, возведение в степень производится по правилам действий со степенями. Так, для произведения и частного комплексных чисел
Для вычисления корня из комплексного числа
используется формула , где k принимает n значений: 0,1,2,…,n-1
Упражнения для коллективного решения
1. Выполните действия в показательной форме. Результат записать в алгебраической и тригонометрической форме:
а)
; б) 
; в) 
; г) 
Вопросы для самопроверки:
1.Запишить общий вид комплексного числа в показательной форме.
2.Запишить формулы для выполнения арифметических действий с комплексными числами в показательной форме.
3.Запишить данные комплексные числа в алгебраической и тригонометрической форме: а) 
; б) 
; в)
