6 класс. Серия 2. Принцип крайнего.
6 класс. Серия 2. Принцип крайнего.
Аня загадала натуральное число, не большее 100. Ваня задал ей четыре вопроса: «Делится ли задуманное число на 2?», «Делится ли задуманное число на 5?», «Делится ли задуманное число на 20?», «Делится ли задуманное число на 45?», и по ответам Ани смог однозначно восстановить задуманное число. Какое число задумала Аня? Найдите все варианты и докажите, что других нет. 
На шахматной доске стоит несколько ладей. Обязательно ли найдется ладья, бьющая не более двух других? По кругу записано 100 чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все 100 чисел равны. В нескольких коробках лежат по 12 конфет. Известно, что каждая девочка съедает на утреннике 6 или 7 конфет, а каждый мальчик – 2 или 3. Воспитательница сразу же распечатала пять коробок, рассчитав, что четырёх коробок точно не хватит, а пяти точно хватит. Сколько мальчиков и девочек в группе? Шахматная доска разбита на домино. Докажите, что какая-то пара домино образует квадратик 2×2. В какое наибольшее число цветов можно раскрасить клетки доски 4x4, чтобы в каждом квадрате 2x2 нашлась пара клеток одного цвета? 
а) Можно ли натуральные числа от 1 до 99 выписать в строчку так, чтобы разность любых двух соседних чисел (из большего вычитается меньшее) была не меньше 50? б) Тот же вопрос для чисел от 1 до 100? 25 астрономов на двадцати пяти разных планетах наблюдают друг за другом, причем каждый наблюдает за ближайшим к нему (среди расстояний между планетами нет одинаковых). Докажите, что а) есть две планеты, астрономы которых наблюдают друг за другом; б) хотя бы за одним астрономом никто не наблюдает. 
Во всех клетках бесконечной клетчатой плоскости расставлены крестики и нолики с выполнением следующего условия: у каждого крестика среди соседей больше крестиков, чем ноликов (соседними считаются все клетки, имеющие с рассматриваемой хотя бы одну общую точку). Докажите, что крестиков бесконечно много. У Васи есть незамкнутая цепочка из 23 звеньев. Вася разомкнул в ней наименьшее возможное число звеньев так, чтобы можно было отдать любое количество звеньев от 1 до 23. Сколько звеньев разомкнул Вася? (Размыкание одного звена делит цепочку на три части, одна из которых – само разомкнутое звено.)
