8 класс, неравенство треугольника

8 класс, неравенство треугольника

8 класс, неравенство треугольника

0.  a) Докажите, что диаметр есть наибольшая хорда окружности;

б) сумма длин звеньев любой ломаной не меньше расстояния между её концами;

в) найдите такую точку, чтобы сумма расстояний до вершин данного выпуклого четырёхугольника была наименьшей.

1.а) Точка M расположена внутри треугольника ABC. Докажите, что BM+CM < AB+AC.

б) Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до трех его вершин больше полупериметра, но меньше периметра треугольника.

в) Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан больше 3/4 периметра, но меньше периметра.

2а) Треугольник A'B'C' лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что периметр треугольника A'B'С' меньше периметра треугольника ABC.

б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый многоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника не меньше, чем периметр внутреннего.

3. а) Точки M и N расположены по одну сторону от прямой l. Постройте на прямой l такую точку K, чтобы сумма MK+NK была наименьшей.

б) Точка M лежит внутри острого угла. Постройте на сторонах этого угла точки A и B, для которых периметр треугольника AMB был бы наименьшим.

4. Известно, что в треугольнике ABC угол A равен 60o. Докажите, что AB + AC ≤2BC.

5. В некотором царстве, в некотором государстве есть несколько городов, причем расстояния между ними все попарно различны. В одно прекрасное утро из каждого города вылетает по одному самолету, который приземляется в ближайшем городе. Может ли в одном городе приземлиться более пяти самолетов?

6. На сторонах AB и AC треугольника ABC выбрали точки P и Q так, что PB=QC. Докажите, что PQ < BC.

7.Биссектриса угла при основании BC равнобедренного треугольника ABC пересекает боковую сторону AC в точке K. Докажите, что BK < 2CK.

8. Даны 5 точек A1,..., A5 и окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку M так, что MA1 + ... + MA5 ≥5.

9. Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?

10. Существует ли треугольник, в котором одна сторона равна какой-то из его высот, другая — какой-то из биссектрис, а третья — какой-то из медиан?

11. На основании AD трапеции ABCD нашлась точка E, обладающая тем свойством, что периметры треугольников ABE, BCE и CDE равны. Докажите, что тогда BC = AD/2.

8 класс, геометрический разнобой-1 на пару тем

1. На наибольшей стороне AC треугольника ABC отложили отрезки AD = AB и CE = BC. Какая из сторон треугольника BDE — наименьшая?

2. Сторону AB треугольника ABC разбили точками D и E на три равные части. Докажите, что AC + BC > CD + CE.

3. В треугольнике АВС АС = ВС и ∠АСВ = 120°. На основании АВ выбраны точки D и Е, которые делят основание на три равные части. Найдите углы треугольника CDE.

4. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы при стороне BC равны. Оказалось, что ∠A > ∠D. Докажите, что AB < CD.

5. Докажите, что в выпуклом пятиугольнике найдутся три диагонали, из которых можно составить треугольник.

6. На сторонах треугольника ABC внешним образом построили параллелограммы ABKL, BCMN и CAPQ. Докажите, что из отрезков KN, MQ и PL можно составить треугольник.

7. В выпуклом четырехугольнике ABCD AC = CD и ∠ACD = 2∠BAC. Докажите, что 2BC ≥ AD.

8. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH. На сторонах AB и AC выбраны точки P и Q таким образом, что AH — биссектриса угла PHQ, а ∠CQH = ∠C–∠B. Докажите, что AP+QH = PH.

9. Биссектрисы AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке I. Оказалось, что IB1 = IA1. Докажите, что либо CB=CA, либо ∠ACB = 60°.

10. На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята такая точка P, что AP = AB. На стороне AB взята такая точка Q, что PQ = PB. Докажите, что AQ = CP.