На четырёх полках было 164 книги
1 (5 класс). На четырёх полках было 164 книги. Когда с первой полки сняли 16, со второй на третью переставили 15, а на четвёртую поставили 12 книг, то на всех полках книг оказалось поровну. Сколько книг было первоначально на каждой полке?
1. Ответ: 56; 55; 25; 28.
Решение: необходимо учесть, что 4 книги вообще сняты с полок. После всех перестановок на каждой полке оказывается по 40 книг. Выполним обратную перестановку, возвращая книги на свои места:
40+16=56- книг на первой полке;
40+15=55- книг на второй полке;
40-15=25- книг на третьей полке;
40-12=28- книг на четвёртой полке.
2 (5 класс). Вася посчитал, что если каждая девочка принесёт по 3 рубля, а каждый мальчик по 5 рублей, все 30 учащихся соберут 122 рубля. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?
2. Ответ: 16 мальчиков и 14 девочек.
Решение: пусть х(чел.) – количество мальчиков, тогда всего собрано 5х+(30-х)*3 (руб.), что равно 122 руб. Таким образом, приходим к уравнению: 5х+(30-х)*3=122, корень которого х=16.
Значит, в классе 16 мальчиков и 14 девочек.
3 (6 класс). После 7 стирок длина, ширина и толщина куска мыла уменьшилась вдвое. На сколько таких же стирок хватит оставшегося мыла?
3.Длина, ширина и толщина куска мыла уменьшилась вдвое, поэтому его объем уменьшился в 8 раз, т. е. за 7 стирок кусок мыла уменьшился на 7/8 своего объема ( за одну стирку на 1/8 объема). Следовательно, оставшегося мыла хватит на одну стирку.
4 (6 класс). Если между цифрами некоторого двузначного числа вписать 0, то полученное трёхзначное число в 9 раз больше первоначального.
4. Ответ: 45.
Решение: последняя цифра двузначного числа не изменилась при умножении на 9, это цифра 5. Сумма цифр трёхзначного числа равна сумме цифр двузначного, следовательно, двузначное число также делится на 9. Первоначальное число 45.
5 (6 класс). Директор завода обычно приезжает поездом в город в 8 ч. Точно к этому времени подъезжает автомобиль и отвозит его на завод. Однажды директор приехал на вокзал в 7 ч. и пошёл на завод пешком. Встретив машину, он сел в неё и приехал на завод на 20 минут раньше обычного. Какое время показывали часы в момент встречи директора с машиной?
5. Инженер приехал на 20 минут раньше, так как машине не пришлось ехать до вокзала, а затем возвращаться на место встречи с инженером ( 10 минут туда и обратно) , т. е. машине оставалось ехать до вокзала 10 минут, следовательно, встреча произошла в 7ч 50 мин.
6 (6 класс). Машина едет со скоростью 60 км/ч. На сколько надо увеличить скорость, чтобы километр пути проезжать на одну минуту быстрее?
6. Ответ: Это невозможно.
7 (7 класс). Разрежьте прямоугольник 4х9 на 2 равные части, которых можно сложить квадрат. (Части можно складывать рядом и переворачивать. Покажите разрезание.)
8 (7 класс). Решите в натуральных числах уравнение: x2 – y2 = 31.
8 .Ответ: Преобразуем выражение к виду 
Так как произведение равно простому числу 31, то больший множитель равен 31, а меньший — 1. Итак, x – y = 1, x + y = 31 , откуда x = 16, y = 15.
9 (7 класс). В гимназии все ученики знают хотя бы один из древних языков — греческий или латынь, а некоторые — оба языка. 85% всех ребят знают греческий язык и 75% знают латынь. Какая часть учащихся знает оба языка?
9. Ответ :60% ребят.
Поскольку 85% всех ребят знают греческий язык, то 15% его не знают, т. е. знают латынь. Это значит, что из 75% ребят, знающих латынь, 15% не знают греческого, а оставшиеся 75% − 15% = 60% говорят на обоих языках.)
10 (7 класс). Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А когда поезд отъезжал, один из математиков насчитал ещё 2. А сколько скамеек насчитали двое остальных?
10. Ответ: 5 и 10 скамеек.
Всего на перроне 17 скамеек.
11. (8 класс). Два угла треугольника равны 10° и 70°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины третьего угла треугольника.
11. Ответ: 30°.
Пусть углы B и C треугольника ABC равны 70° и 10° соответственно, AH – высота, а AL – биссектриса треугольника. Тогда A = 100°, значит, ∠HAL = ∠BAL – ∠BAH = 50° – (90° – 70°) = 30°.
12 (8 класс). Найдите наименьшее целое число x, для которого
12. Ответ: –11, что следует из метода интервалов.
