Прототип 10

Прототип 10

ПРОТОТИП 10

1. Окруж­ность впи­са­на в квад­рат. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та.

2. Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 4. Угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щий ос­но­ва­нию, равен 120°. Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

3. От­рез­ки AB и CD яв­ля­ют­ся хор­да­ми окруж­но­сти. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды AB равно 12.

4. Най­ди­те длину хорды окруж­но­сти ра­ди­у­сом 13 см, если рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды равно 5 см. Ответ дайте в см.

5. Тре­уголь­ник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке О. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла C тре­уголь­ни­ка ABC, если угол AOB равен 123°.

6. Цен­траль­ный угол AOB, рав­ный 60° , опи­ра­ет­ся на хорду АВ дли­ной 4. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

7. Ка­са­тель­ные в точ­ках A и B к окруж­но­сти с цен­тром O пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 72°. Най­ди­те угол ABO.

8. Окруж­ность с цен­тром в точке O опи­са­на около рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, в ко­то­ром AB = BC и ∠ABC = 66°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла BOC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

9. Тре­уголь­ник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла C тре­уголь­ни­ка ABC, если угол AOB равен 48°.

10. Точка О — центр окруж­но­сти, ∠ACB = 24° (см. ри­су­нок). Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла AOB (в гра­ду­сах).

11. В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диа­мет­ры. Угол ACB равен 26°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

12. На от­рез­ке AB вы­бра­на точка C так, что AC = 75 и BC = 10. По­стро­е­на окруж­ность с цен­тром A, про­хо­дя­щая через C. Най­ди­те длину от­рез­ка ка­са­тель­ной, про­ведённой из точки B к этой окруж­но­сти.

13. Точки A и B делят окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 9:11. Най­ди­те ве­ли­чи­ну цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на мень­шую из дуг. Ответ дайте в гра­ду­сах.

14 В угол C ве­ли­чи­ной 79° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

15. Най­ди­те ∠KOM, если гра­дус­ные меры дуг KO и OM равны 112° и 170° со­от­вет­ствен­но.

16. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти ра­ди­у­са 39.

ПРОТОТИП 11

1. Най­ди­те пло­щадь кру­го­во­го сек­то­ра, если длина огра­ни­чи­ва­ю­щей его дуги равна 6р, угол сек­то­ра равен 120°, а ра­ди­ус круга равен 9. В ответ ука­жи­те число, де­лен­ную на р.

2. Пло­щадь ромба равна 54, а пе­ри­метр равен 36. Най­ди­те вы­со­ту ромба.

3. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ги­по­те­ну­за равна 10, а один из ост­рых углов равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

4. Сто­ро­на ромба равна 65, а диа­го­наль равна 104. Най­ди­те пло­щадь ромба.

5. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а синус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

6. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен 4, а ост­рый угол, при­ле­жа­щий к нему, равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

7. В ромбе сто­ро­на равна 10, одна из диа­го­на­лей — , а угол, ле­жа­щий на­про­тив этой диа­го­на­ли, равен 150°. Най­ди­те пло­щадь ромба.

8. В тра­пе­ции ABCD AD = 3, BC = 1, а её пло­щадь равна 12. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

9. В тре­уголь­ни­ке ABC от­ме­че­ны се­ре­ди­ны M и N сто­рон BC и AC со­от­вет­ствен­но. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CNM равна 2. Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABMN.

10. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 92, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 3:20.

11. Пе­ри­метр квад­ра­та равен 160. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та.

12. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 18 и 12, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 6, а тан­генс угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

13. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из ка­те­тов равен 10, а угол, ле­жа­щий на­про­тив него, равен 45°. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка.

14. Сред­няя линия тра­пе­ции равна 11, а мень­ше ос­но­ва­ние равно 5. Най­ди­те боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

15. Пе­ри­метр ромба равен 24, а ко­си­нус од­но­го из углов равен . Най­ди­те пло­щадь ромба.

16. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

17. В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 10, а угол между ней и одной из сто­рон равен 60°, длина этой сто­ро­ны равна 5. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, де­лен­ную на

18. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 56. Точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции AECB.

ПРОТОТИП 12

1. На ри­сун­ке изоб­ра­жен ромб . Ис­поль­зуя ри­су­нок, най­ди­те .

2. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1x1 изоб­ра­же­на фи­гу­ра. Най­ди­те её пло­щадь.

3. На ри­сун­ке изоб­ра­жен па­рал­ле­ло­грамм . Ис­поль­зуя ри­су­нок, най­ди­те .

4. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

5. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см Ч 1 см от­ме­че­ны точки А, В и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до се­ре­ди­ны от­рез­ка ВС. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

6. Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

7. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

8. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на тра­пе­ция . Ис­поль­зуя ри­су­нок, най­ди­те .

9. Най­ди­те тан­генс угла С тре­уголь­ни­ка ABC, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

10. Из квад­ра­та вы­ре­за­ли пря­мо­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те пло­щадь по­лу­чив­шей­ся фи­гу­ры.

11. Най­ди­те тан­генс угла AOB, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке.

12. Най­ди­те тан­генс угла AOB.