Обобщающий урок по теме: «Формулы сокращенного умножения»

Обобщающий урок по теме: «Формулы сокращенного умножения»

Цели урока:

    Закрепить и отработать навыки применения формул сокращенного умножения в различных ситуациях. Развивать  умение применять знания в нестандартных ситуациях, умение классифицировать и обобщать, добиваться творческого подхода к решениям. Формировать навыки рационального счета, самоконтроля и взаимоконтроля; Развивать познавательный интерес учащихся. Воспитывать собранность, внимательность.

ХОД УРОКА

I. Вступительное слово учителя

У нас сегодня обобщающий урок, который посвящен формулам сокращенного умножения. Ваша цель – показать знание этих формул и умение применять их в различных математических ситуациях. Девизом урока я выбрала слова академика Александрова: «Мне бы хотелось, чтобы слово «формула» не означало для вас «формальность», чтобы вы творчески подходили к применению их на практике».

II. Устное повторение формул сокращенного умножения.

Найдите соответствие между формулами:

a2 – b2  =

(a – b)(a2 + ab +b2)

(a + b)2  =

(a – b)(a + b)

(a – b)2  =

a2 + 2ab + b2

a2 - b2  =

(a + b)(a2 - ab + b2)

a2 + b2  =

(a + b)(a2 - ab + b2)

III. Тест № 1.

А теперь проверим с помощью первого теста знание вами этих формул, умение воспринимать их на слух. Я читаю выражение, входящее в одну из формул, а вы записываете соответствующий ей номер. (Формулы пронумерованы на доске).

а3 + в3 (а – в)2 а2 – в2 а3 – в3 (а + в)2

Вариант 1:

1. Квадрат суммы двух выражений.
2. Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата разности.
3. Разность квадратов двух выражений.
4. Квадрат первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.
5. Разность кубов двух выражений.
6. Произведение разности двух выражений и их суммы.

Вариант 2:

1. Произведение разности двух выражений и их суммы.
2. Квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.
3. Сумма кубов двух выражений.
4. Произведение разности двух выражений
и неполного квадрата суммы.
5. Квадрат разности двух выражений.
6. Разность квадратов двух выражений.

Для проверки теста учитель показывает карточки с правильным набором цифр, ученики проверяют свою работу и ставят первую оценку в зачетку.

Ответы:

1-й вариант: 5 1 3 2 4 3
2-й вариант: 3 5 1 4 2 3

IV. Историческая справка

(сообщается учителем или заранее подготовленным учеником).

Формулы сокращенного умножения были известны еще около 4-х тысяч лет тому назад. Известно, что ими пользовались вавилоняне, греки и некоторые другие народы. Тогда они формулировались словесно или геометрически.
Например, тождество (а + в)2 = а2 + 2ав + в2 во второй книге «Начал» Евклида (III в. до н. э.) формулировалось так: «Если отрезок как-либо рассечен, то квадрат на всем отрезке равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками». В домашней работе у вас были задачи, дающие геометрическую интерпретацию двух формул. Рассмотрим их.

V. Устная работа.

(Проверка знаний формул и быстроты реакции)

Вместо знака вопроса поставить нужную букву или число:

(m - ?)2  = m2 - 6m + ? 532 - 432 = (53 - ?)(? + 43) 612 = (? +?)2 = 3600 + ? + 1 712 + 292 + 2 * 71 * 29 = (? + ?)2= ?2

Чего не учел ученик?

4а2 - 6ав + 9в2 = (2а - 3в)2

Ребята! Зачем мы изучаем формулы сокращенного умножения? Где мы используем их? (Разложение на множители, вычисления, решение уравнений). Иногда очень сложные вычисления сводятся к простым, если удачно использовать нужную формулу.

VI. Применим при вычислениях.

2342 - 2332 = 467 1592 – 2 * 159 * 59 + 592 = (159 - 59)2 = 1002 = 10000 1392 + 2 * 139 * 61 + 612 = (139 + 61)2 = 2002 = 40000 (1002 + 982 + 962 + 942) - (992 + 972 + 952 + 932) = (1002  - 992) =772

(Все работают в тетрадях, через три минуты желающие говорят ответ и что применили, четвертый пример можно решить на доске.)

Ответ: 1

VIII. Применим к решению уравнений.

х2-25=0

х3-3х2-4х+12=0

(х-5)(х+5)=0

(х3-3х2)-(4х-12)=0

х-5=0 х+5=0

х2(х-3)-4(х-3)=0

х=5 х=-5

(х-3)(х2-4)=0

(х-3)(х-2)(х+2)=0

х-3=0 х-2=0 х+2=0

х=3 х=2 х=-2

(произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю)

Кто решит в тетради, выходит и записывает решение на доске, на оценку.

в) для любого b решите уравнение

(b - 5) * (b + 3) * х = b2 - 25

(Как вы понимаете задание? Что значит b любое?)

х = ((b - 5)(b + 5)) / ((b - 5)(b + 3))

х =  (b + 5) / (b + 3)

В случае b = -3 уравнение решений не имеет, т. к. знаменатель обращается в ноль.

IX. Применим к доказательству тождеств.

(а + 1)3 - (а + 1) = а(а + 1)(а + 2)

(а + 1)3 - (а + 1) =

(а + 1)((а + 1)2 - 1) =

(а + 1)(а2 + 2а + 1 – 1) =

(а + 1)(а(а + 2) =

а(а + 1)(а + 2) =

а(а + 1)(а + 2) = а(а + 1)(а + 2)

что и требовалось доказать

X. Подведение итогов урока.

XI. Домашнее задание.