Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой

треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание,

отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

*Амльбрехт Дюмрер — немецкий живописец и график, один из величайших мастеров западноевропейского искусства Ренессанса. Альбрехт Дюрер - ученый. — М.: Наука, 1987. С.180-186

Построение золотого треугольника

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

Строение золотого ортогонального четырехугольника и спирали.

В геометрии прямоугольник с таким отношением сторон стали называть

золотым прямоугольником. Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,168 : 1.

"Золотым" прямоугольником называется такой прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции, то есть

Золотой прямоугольник также обладает многими удивительными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Повторяя многократно эту процедуру, мы получим бесконечную последовательность квадратов и золотых прямоугольников, которые в пределе сходятся к точке O.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Заметим, что такое бесконечное повторение одних и тех же геометрических фигур, то есть квадрата и золотого прямоугольника, вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство ритма и гармонии. Считается, что именно это обстоятельство является причиной того, что многие предметы прямоугольной формы, с которыми человек имеет дело (спичечные коробки, зажигалки, книги, чемоданы), зачастую имеют форму золотого прямоугольника. Например, мы широко пользуемся кредитными карточками в нашей повседневной жизни, но не обращаем внимание на то, что во многих случаях кредитные карточки имеют форму золотого прямоугольника.


Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники до бесконечности. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов (например, раковинах улиток).

Небольшой эксперимент.

В 1958 году один из английских специалистов провел с группой лиц небольшой эксперимент. Из набора прямоугольников он предложил выбрать те, которые испытуемые сочтут самыми красивыми по форме. Если вы хотите проверить свою способность чувствовать гармонию, не спешите читать дальше, а проделайте то же самое. Большинство опрошенных (35%) без промедления указали на фигуру, стороны которой соотносятся между собой в пропорции 21:34. Соседние фигуры также были оценены высоко соответственно 20 процентов верхняя фигура и 19 процентов - нижняя. Все остальные прямоугольники получили не более 10 процентов голосов каждый. Этот тест - не только чисто статистический эксперимент, он отражает реально существующую в природе закономерность.

Проводились исследования, в которых испытуемым предлагалось выбирать и копировать прямоугольники различных пропорций. На выбор предлагалось три прямоугольника: квадрат (40:40 мм), прямоугольник "золотого сечения" с отношением сторон 1:1,62 (31:50 мм) и прямоугольник с удлиненными пропорциями 1:2,31 (26:60 мм).

При выборе прямоугольников в обычном состоянии в 1/2 случаев предпочтение отдается квадрату. Правое полушарие предпочитает золотое сечение и отвергает вытянутый прямоугольник. Наоборот, левое полушарие тяготеет к удлиненным пропорциям и отвергает золотое сечение.

При копировании этих прямоугольников наблюдалось следующее. Когда активно правое полушарие, пропорции в копиях выдерживались наиболее точно. При активности левого полушария пропорции всех прямоугольников искажались, прямоугольники вытягивались (квадрат срисовывался как прямоугольник с отношением сторон 1:1,2; пропорции вытянутого прямоугольника резко увеличивались и достигали 1:2,8). Наиболее сильно искажались пропорции "золотого" прямоугольника; его пропорции в копиях становились пропорциями прямоугольника 1:2,08.

При рисовании собственных рисунков преобладают пропорции, близкие к золотому сечению, и вытянутые. В среднем пропорции составляют 1:2, при этом правое полушарие отдает предпочтение пропорциям золотого сечения, левое полушарие отходит от пропорций золотого сечения и вытягивает рисунок.

А теперь нарисуйте несколько прямоугольников, измерьте их стороны и найдите соотношение сторон. Какое полушарие у Вас преобладает?

История.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н. э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян.

И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Платон (427...347 гг. до н. э.) также знал о золотом делении. Его диалог  «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах»  Евклида.

Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления.  После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н. э.)*, Папп (III в. н. э.)** и др. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают

творцом начертательной геометрии.

____________________________________________________________________________________________________________________

*«Тимей» (греч. ФЯмбйпт) — один из важнейших трактатов Платона в форме диалога, посвящённый космологии, физике и биологии и написанный около 360 года до н. э. В этом диалоге также излагаются сведения об Атлантиде (более подробное описание имеется в неоконченном диалоге «Критий») Этот диалог оказал значительное влияние на развитие средневековой философии, а также на философию эпохи Возрождения Участники диалога: Сократ, Тимей,  Критий, Гермократ

* Гипсикл Александрийский(ок. 190 до н. э. — 120 до н. э.) — древнегреческий математик и астроном. О его жизни практически ничего не известно. Он считается автором дополнительной XIV книги «Начал» Евклида.

** Папп Александримйский (РЬррпт ὁ Ἀлеобндсеэт) — древнегреческий математик второй половины III века. В своём Собрании (ухнбгщгЮ) Папп излагает содержание ряда трудов более древних авторов, присоединяя к ним свои собственные теоремы.

В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная

пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего

полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным

гимном золотой пропорции.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название «золотое сечение». Так оно и держится до сих пор как самое популярное. В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер.

Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях.

Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других,  которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать». Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. 

Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев. Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).  Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4