Задание

Задание

9 класс

1) Определить несократимую дробь, которая не изменяет  своей величины от прибавления к числителю 21, а к знамена

Ответ. 3/4

2) Дано

;  .

Вычислить произведение (x+1)(y+1)

Решение.

Ответ. 1

3) Разложить на множители выражение

А=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15

Ответ. (х+1)(х+6)(х2+8х+10)

4) Найти все корни уравнения

Ответ. -5/7, 1, -√3√11√37i+37, √3√11√37i-37

5) Дано, что медианы   треугольника АBC образуют со стороной АС углы, дающие в сумме 60 ̊ и произведение ma*mc=. Найти площадь треугольника ABC.

6) Найдите все целые числа n, для которых сумма 1!+2!+3!+…+n! является полным квадратом.

Решение:

1!+2!+3!+…+n!=у2

Если n!=1, то 1!=у2, тогда у=1, у=-1;

Если n!=2, то 1!+2!=у2, тогда у2=3 =>  у - число не целое;

Если n!=3, то 1!+2!+3!=у2, тогда  у2=9 => у=3, у=-3;
Если n!-4, то 1!+2!+3!+4!=у2,  у2=33, тогда у - число не целое;
Если  n!≥5, то 1!+2!+3!+4!+…+n! оканчивается цифрой 3, но квадрат целого числа не может оканчиваться 3.
Значит, при  n!≥5  уравнение не имеет целых решений.

Ответ: n=1, n=-1, n=3, n=-3. 

7) Из чисел 1, 2, 3, …, 100 составлены всевозможные парные произведения. Сколько среди полученных чисел таких, которые кратны трем?

Ответ. 300

8) Для нумерации страниц книги потребовалось 6857 цифр. Сколько страниц в книге?

Решение

1-9 стр – 9 цифр, 10-99 стр – 90*2=180 цифр, 100-999 стр – 900*3=2700 цифр,

(6857-9-180-2700)/4=992 цифр. Всего 9+90+900+992=1991 стр.

Ответ. 1991 стр.

9) Найти при каких значениях x и y выражение А= x2+2xy +2y2+2x +4y+3 принимает наименьшее значение.

Решение. (х2+у2+12+2ху+2х+2у)+(у2+2у+12)+1=(х+у+1)2+(у+1)2+1

х+у+1=0  х=0        

у+1=0  у=-1

Ответ. х=0, у=-1. 

10) Сколькими способами можно составить разведывательную группу из трех офицеров и семи солдат, если всего 10 офицеров и 20 солдат?

Решение. С 310 *С720=(10!/7!*3!)(20!/13!*7!)=120*77520=9302400

Ответ. 9302400 способов.